Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 3: Không gian Vectơ

Bài giảng "Toán cao cấp A1 – Chương 3: Không gian Vectơ" cung cấp đến quý độc giả các kiến thức về không gian vectơ con; sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính; hệ vectơ trong Rn; cơ sở, số chiều của kgvt tọa độ của vectơ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 3: Không gian Vectơ Chương 3 . KHÔNG GIAN VECTƠ Đặt V= Rn ={(x1,x2, …, xn): xiR}. Cho x = (x1, x2, …, xn) và y = (y1, y2, …, yn) là các phần tử của Rn, r là số thực tùy ý. Ta định nghĩa các phép toán: x+y = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn) rx= (rx1, rx2, …, rxn). Các phép toán này có các tính chất sau đây ➢ Chương 3. Không gian vector 1) (x y) z x (y z ), x , y, z V; 2) V :x x x, x V; 3) x V, ( x) V : ( x) x x ( x) ; 4) x y y x, x, y V; 5) (x y) x y, x, y V, ; 6) ( )x x x, x V, , ; 7) ( )x ( x ), x V, , ; 8) 1.x x, x V. Trong đó, V được gọi là vector không. ➢ Chương 3. Không gian vector 1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace) ▪ Định nghĩa Cho kgvt V , tập W V được gọi là không gian vector con của V nếu W cũng là một kgvt. ▪ Định lý Cho kgvt V , tập W V là kgvt con của V nếu: x, y W , thì (x y) W . VD 2. • Tập W { } là kgvt con của mọi kgvt V . n • Tập W ( , 0,..., 0) là kgvt con của . …………………………………………………… ➢ Chương 3. Không gian vector §2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1. Định nghĩa Trong kgvt V , xét n vector ui (i 1,..., n ). Khi đó: n • Tổng 1u1 u 2 2 ... u n n u, i i i , i 1 được gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector ui . • Hệ gồm n vector {u1, u2,..., un } được gọi là độc lập tuyến tính (viết tắt là đltt) nếu: n u i i thì i 0, i 1,..., n . i 1 ➢ Chương 3. Không gian vector • Hệ {u1, u2,..., un } không là độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính (viết tắt là pttt). VD 1. Trong 2 , xét sự đltt hay pttt của hệ 2 vector: A {u1 (1; 1), u2 (2; 3)}. Giải. Ta có: u 1 1 u 2 2 1 (1; 1) 2 (2; 3) (0; 0) 1 2 2 0 1 0 . 1 3 2 0 2 0 Vậy hệ A là độc lập tuyến tính. ➢ Chương 3. Không gian vector 3 VD 2. Trong , xét sự đltt hay pttt của hệ 3 vector: B {u1 ( 1; 3; 2), u2 (2; 0; 1), u3 (0; 6; 5)}. Giải. Ta có: 3 1 2 2 0 u i i 3 1 6 3 0 (I). i 1 2 1 2 5 3 0 1 2 0 Hệ (I) có ma trận hệ số A 3 0 6 . 2 1 5 ➢ Chương 3. Không gian vector 1 2 0 1 2 0 Do A 0 6 6 0 1 1 r (A) 3, 0 5 5 0 0 0 nên hệ phương trình (I) có nghiệm không tầm thường. Vậy hệ B là phụ thuộc tuyến tính. ➢ Chương 3. Không gian vector 2.2. Định lý Hệ gồm n vector là pttt khi và chỉ khi tồn tại một vector là tổ hợp tuyến tính của n 1 vector còn lại. Nghĩa là: uj u ... 1 1 u j 1 j 1 u j 1 j 1 ... u . n n ▪ Hệ quả • Hệ có vector không thì phụ thuộc tuyến tính. • Nếu có một bộ phận của hệ pttt thì hệ pttt. ➢ Chương 3. Không gian vector n 2.3. Hệ vector trong n Xét m vector ui (ai 1, ai 2,..., ain ), i 1, m trong . Ma trận A aij được gọi là ma trận dòng của hệ m n m vector {u1, u2,..., um }. VD 6. Hệ {u1 (1; 1; 2), u2 (4; 2; 3)} ...