Bài giảng Toán cao cấp A1 (65 trang)

Bài giảng Toán cao cấp A1 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến; lý thuyết chuỗi. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp A1 (65 trang) Toán cao cấp A1 Chương 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC 1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1. Một hàm số f đi từ tập các số nguyên dương * vào tập số thực f : *   , theo đó với mỗi số nguyên dương n  * cho tương ứng với duy nhất một số thực xn  . Mỗi hàm số như vậy được gọi là một dãy số thực và được biểu diễn như sau: x1 , x2 ,..., xn ,... viết gọn là  xn  . Số xn được gọi là số hạng tổng quát. Ví dụ 1. Cho một hàm số f : *  được xác định như sau: f  n   xn  1  3n . Ta có x1  4, x2  7, x3  10, x4  13,... Khi đó ta có dãy số: 4, 7, 10, 13, ...., 1  3n, .... Số hạng tổng quát xn  1  3n . Định nghĩa 2. Dãy  xn  được gọi là hội tụ về số thực a nếu   0, N=N    sao cho n  N thì xn  a   . Và khi đó a được gọi là giới hạn của dãy số  xn  , kí hiệu: lim xn  a hay xn  a khi n   . n Ví dụ 2.Chứng minh rằng dãy số sau đây hội tụ về 2017. 1 1 1 1 1 2018, 2017  , 2017  , 2017  , 2017  , .... , 2017  , ... 2 3 4 5 n 1 1 Giải.Ta có xn  2017   xn  2017  . Ta cần chứng minh n n 1   0, N=N    sao cho n  N thì xn  2017   n 1 1 Thật vậy, với mọi  cho trước ta chọn N=   (là phần nguyên của ) , khi đó    1 1 n  N  n     (đpcm).  n 2n Ví dụ 3. Chứng minh rằng lim  0. n n  1 2 1 Toán cao cấp A1 2n Giải.Ta cần chứng minh   0, N=N    sao cho n  N thì   . Nhận n 1 2 2n 2n 2 2 2 2 thấy rằng   , để    n  , vậy với mọi  cho trước ta chọn N=    , n2  1 n2 n n  2 2 2n khi đó n  N  n      2   (đpcm).  n n 1 Định nghĩa 3. Giới hạn tại vô cực: lim xn    E  0, N  E  sao cho n  N  E  thì xn  E . n lim xn    E  0, N  E  sao cho n  N  E  thì xn   E . n Ví dụ 4. Chứng minh rằng lim a n   (a  1) . n Giải.Ta cần chứng minh E  0, N  E  sao cho n  N  E  thì a n  E . Nhận thấy rằng ln E để a n  E  ln a n  ln E  n ln a  ln E  n  . Vậy E  0 ta chọn ln a  ln E  ln E N E    , khi đó n  N  E  thì n   a n  E (đpcm).  ln a  ln a Định nghĩa 4. Dãy  xn  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực a sao cho xi  a, xi xn  . Dãy  xn  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực a sao cho xi  a, xi xn  . Dãy  xn  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là nếu tồn tại số thực a sao cho xi  a, xi xn  . 1.2. Các định lí về giới hạn của dãy số 1.2.1.Tiêu chuẩn hội tụ 1: Nếu yn  xn  zn , n  n0 với n0 là số tự nhiên lớn hơn 0 bất kì và lim yn  lim zn  a thì lim xn  a . n n n 1.2.2.Tiêu chuẩn hội tụ 2 (tiêu chuẩn Cauchy): điều kiện cần và đủ để dãy  xn  có giới hạn là   0, N=N    : xn p  xn   n  N và p  . 1.2.3.Tiêu chuẩn hội tụ 3: Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. - Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ. - Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 2 Toán cao cấp A1 1.2.4. Tính chất và các phép toán: Cho  xn  và  yn  hội tụ, khi đó: a. Nếu yn  xn thì lim yn  lim xn n n b. lim  xn  yn   lim xn  lim yn n n n c. lim  xn . yn   lim xn .lim yn n n n  xn  lim xn d. lim    n với lim yn  0 n n  yn  n n lim y 1.2.5. Một số giới hạn cơ bản của dãy số: 1 e. lim n   1 với   0 . a. lim  0 với  là hằng số. n n n ...