Bài giảng Toán cao cấp B: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tập bài giảng Toán cao cấp B gồm 3 chương sau, tiếp tục cung cấp cho sinh viên những nội dung, kiến thức về: tích phân hàm một biến; hàm nhiều biến; phương trình vi phân;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp B: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường ToảnChương 4 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN4.1 Tích phân bất định4.1.1 Nguyên hàm, tích phân bất địnha. Nguyên hàmĐịnh nghĩa 4.1. Hàm F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a, b)nếu: F (x) = f (x) , ∀x ∈ (a, b)Ví dụ 4.2. . i) Hàm F (x) = x3 là một nguyên hàm của hàm f (x) = 3x2 trên R. 1 π ii) Hàm F (x) = tgx+1 là một nguyên hàm của hàm f (x) = cos2 x trên R 2 + k2π .b. Tích phân bất địnhĐịnh nghĩa 4.3. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì biểu thức F (x) + C ,trong đó C là hằng số tùy ý, được gọi là tích phân bất định của hàm f (x) , ký hiệu f (x) dx .Ví dụ 4.4. 5x4 dx = x5 + C; cos xdx = sin x + C4.1.2 Tính chấtĐịnh lý 4.5. Nếu hàm g(x) liên tục trên (a, b), khả vi trong (a, b) và nếu: g (x) =0, ∀x ∈ (a, b) th` g (x) = C, ∀x ∈ (a, b) . (C là hằng số) i 4748 Chương 4. TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾNChú ý: Một hàm số có thể có nhiều nguyên hàm. √ √Ví dụ 4.6. Các hàm số F (x) = x v` G (x) = x + 2 đều là nguyên hàm của hàm a 1số f (x) = √ 2 x .Định lý 4.7. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a, b) và G (x) là mộtnguyên hàm bất kỳ của f (x) trong khoảng này thì tồn tại hằng số C sao cho G (x) =F (x) + C .Định lý 4.8. Cho f, g là các hàm số có nguyên hàm trong (a, b). Khi đó, trên (a, b)ta có: a) λf (x) dx = λ f (x) dx ( λ là hằng số) b) (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx c) f (x) dx = f (x)Ví dụ 4.9. I = sin2 x dx = 2 1−cos x 2 dx = 1 2 dx − 1 cos xdx = 2 (x − sin x) + C4.1.3 Bảng nguyên hàm các hàm sơ cấp cơ bản 0dx = C (C là hằng số) dx = x + C α+1 xα dx = x α+1 +C dx x = ln |x| + C x x x ax e dx = e + C a dx = ln a + C dx √ dx 1+x2 = arctgx + C 1−x2 = arcsin x + C sin xdx = − cos x + C cos xdx = sin x + C tgxdx = − ln |cos x| + C cot gxdx = ln |sin x| + C dx dx cos2 x = tgx + C sin2 x = − cot gx + C Bảng 4.1: Bảng nguyên hàm Các công thức mở rộng: dx a2 +x2 = a arctg x + C 1 a √ dx = arcsin x + C a2 −x2 a dx 1 a+x a2 −x2 = 2a + C, |x| = 1 ln a−x √ √ dx = ln x + x2 + a + C x2 +a √ √ √ x2 + adx = x x2 + a + a ln x + x2 + a + C 2 2 √ √ 2 a2 − x2 dx = x a2 − x2 + a2 arcsin x + C 2 a4.1. Tích phân bất định 494.1.4 Các phương pháp tính tích phân bất địnha. Phương pháp đổi biến s ...