Bài giảng Toán cao cấp (Phần đại số tuyến tính): Chương 8 - Ngô Thái Hưng

Bài giảng "Toán cao cấp (Phần Đại số tuyến tính) - Chương 8: Ma trận - Định thức" cung cấp cho người học các kiến thức: Ma trận, định thức của ma trận vuông, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp (Phần đại số tuyến tính): Chương 8 - Ngô Thái HưngðẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra) Ma Trận - ðịnh Thức GV: Ngô Thái Hưng Chương VIII Ma Trận - ðịnh Thức Ma trận ðịnh thức của ma trận vuông Ma trận nghịch ñảo Hạng của ma trận §1. Ma Trận (Matrix)1. ðịnh nghĩa  a11 a12 ⋯ a1n     a 21 a 22 ⋯ a 2n  A= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯     a m1 a m2 ⋯ a mn  A gọi là ma trận cấp m × n , A ∈ Mmxn Ký hiệu : A = ( a ij )m×n hay A =  a ij  m×n [A]ij là phần tử tại hàng i, cột j trong A §1. Ma Trận2. Ma trận bằng nhau  A, B ∈ Mm×n A=B⇔ [A]ij = [B]ij , ∀i = 1, m, j = 1, n3. Các ma trận ñặc biệt 1. Ma trận không 0 0 ⋯ 0   0 0 ⋯ 0 0m×n =  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯    0 0 ⋯ 0 §1. Ma Trận3. Các ma trận ñặc biệt 2. Ma trận vuông (Square Matrix) Là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. A ∈ Mnxn hay A ∈ Mn , A ñược gọi là ma trận vuông cấp n. Các phần tử [A]11, [A]22, .. , [A]nn ñược gọi là thuộc ñường chéo chính của A. Các phần tử [A]n1, [A]n-1,2, .. , [A]1n ñược gọi là thuộc ñường chéo phụ của A. §1. Ma Trận3. Các ma trận ñặc biệt 2. Ma trận vuông Ví dụ  1 −2 3   1 −2 3      A = 0 6 5  A = 0 6 5   2 3 −5   2 3 −5      ðường chéo chính ðường chéo phụ §1. Ma Trận3. Các ma trận ñặc biệt 3. Ma trận chéo (Diagonal Matrix) Là ma trận vuông có mọi phần tử không thuộc ñường chéo chính ñều bằng 0. Ví dụ  5 0 0, gọi  là ma trận chéo cấp 3.   A =  0 −7 0   0 0 0   §1. Ma Trận3. Các ma trận ñặc biệt 4. Ma trận ñơn vị (Identity Matrix) Là ma trận chéo có mọi phần tử thuộc ñường chéo chính ñều bằng 1. Ký hiệu : In là ma trận ñơn vị cấp n. 1 0 ... 0     0 1 ... 0  In =  ... ... ... ...    0 0 ... 1  §1. Ma Trận3. Các ma trận ñặc biệt 5. Ma trận tam giác trên (dưới) Là ma trận vuông có mọi phần tử ở phía dưới (phía trên) ñường chéo chính ñều bằng 0. Ví dụ:  5 2 −1    A =  0 −7 4  0 0 0    A ñược gọi là ma trận tam giác trên §1. Ma Trận3. Các ma trận ñặc biệt 6. Ma trận hàng (cột) Là ma trận chỉ có một hàng (cột). Còn ñược gọi là vectơ hàng (cột). Một ma trận cấp m × n có thể ñược xem như ñược tạo bởi m vectơ hàng hay bởi n vectơ cột. 2 Ma trận cột:   A =  −1  0   Ma trận hàng: A = ( 2 −1 0) §1. Ma Trận4. Các phép toán trên ma trận Cho A, B ∈ Mm×n , k ∈ ℝ 1. Phép nhân ma trận với một số thực k.A là ma trận ñược xác ñịnh bởi [ kA ]ij = k [ A ]ij , ∀ i = 1, m, j = 1, n (–1).A hay –A ñược gọi là ma trận ñối của A. 2. Phép cộng hai ma trận A + B là ma trận ñược xác ñịnh bởi [ A + B]ij = [ A ]ij + [B]ij , ∀ i = 1, m, j = 1, n Phép trừ ñược ñịnh nghĩa là A + (–B) §1. Ma Trận4. Các phép toán trên ma trận 3. Tính chất i. A + B = B + A (tính giao hoán) ii. (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp) iii. A + 0 = A (0 ñược hiểu là 0mxn) iv. A + (−A) = 0 v. h(kA) = k(hA) vi. h(A + B) = hA + hB vii. (h + k)A = hA + kA viii. 1.A = A §1. Ma Trận 4. Các phép toán trên ma trận 4. Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ M m×n , B ∈ M n×p Tích của A và B là ma trận cấp ,m × p ký hiệu AB ñược xác ñịnh bởi n[ AB]ik = ∑ [ A ]ij [B] jk = [ A ]i1 [B]1k + [ A ]i2 [B]2k + ... + [ A ]in [B]nk j=1 , với mọi i = 1, m , k = 1, p . [AB]ik chính là tích vô hướng của vectơ hàng thứ i của ma trận ...