Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 4 - Dương Minh Đức

Bài giảng "Toán giải tích 1 - Chương 4: Số thực" cung cấp cho người học 17 bài toán chứng minh về số thực. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 4 - Dương Minh Đức CHÖÔNG BOÁN SOÁ THÖÏC Neáu chuùng ta qui hoaïch moät con ñöôøngmaøu xanh treân moät khu ñaát hình vuoâng dcoù chieàu daøi moãi caïnh laø 1 km. Hoûi 1chuùng ta neân ghi chieàu daøi d cuûa conñöôøng naøy laø bao nhieâu trong döï aùn ? 1 Theo ñònh lyù Pythagore d2 = 2 . Trong caùc chöông tröôùc,chuùng ta ñaõ thaáy khoâng coù soá höõu tæ naøo baèng d caû. Consoá d naøy coù thöïc ngoaøi ñôøi nhöng khoâng theå tieáp caänbaèng caùc lyù luaän bình thöôøng ngoaøi ñôøi nhö ñeám soá, chiaphaàn (soá nguyeân vaø soá GIAI höõTICH u tæ). 1 - CHUONG 4 141 Trong Phuï luïc A cuûa quyeãn “Giaùo Trình Toaùn Giaûi Tích1”, NXB Thoáng Keâ, duøng khaùi nieäm daõy Cauchy, chuùngta xaây döïng ñöôïc taäp hôïp — caùc soá thöïc d döïa vaøo taäpcaùc soá nguyeân nhö sau.Ñònh nghóa. — laø moät taäp hôïp treân ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc:pheùp coäng (x,y)  x +y vaø pheùp nhaân (x,y)  xy (ñaây laøcaùc aùnh xaï töø —  — vaøo —) vaø moät quan heä thöù töïtoaøn phaàn coù caùc tính chaát sau : vôùi moïi x, y, z vaø utrong —(R1) x + y = y + x ,(R2) x + (y + z) = (x+ y) + z,(R3) coù moät phaàn töû 0 trong — sao cho 0 +x = x x  —,(R4) coù moät phaàn töû - x trong — sao cho x + (-x) = 0, GIAI TICH 1 - CHUONG 4 142(R1) x + y = y + x ,(R2) x + (y + z) = (x+ y) + z,(R3) coù moät phaàn töû 0 trong — sao cho 0 +x = x  x  —,(R4) coù moät phaàn töû - x trong — sao cho x + (-x) = 0,(R5) xy = yx,(R6) x(yz) = (xy)z,(R7) coù moät phaàn töû 1 trong — sao cho 1x = x x  —,(R8) neáu x  0 coù moät phaàn töû x-1 trong — sao chox -1.x = 1,(R9) x(y + z) = xy + xz, GIAI TICH 1 - CHUONG 4 143Baøi toaùn 1 . Cho  vaø  laø hai soá thöïc sao cho x +  = x vaø x +  = x  x  .Chöùng minh  =  .x+=x x x +=x x ==+=+= Vaäy phaàn töû 0 duy nhaátBaøi toaùn 2 . Cho  vaø  laø hai soá thöïc sao cho .x = x vaø .x = x  x  .Chöùng minh  =  ..x = x x .x = x x = = . = . = Vaäy phaàn töû 1 duy nhaát GIAI TICH 1 - CHUONG 4 144BAØI TOAÙN 3 . Cho hai soá thöïc x vaø y . Chöùng minh x+ y = x fl y = 0 . x + y = x y = 0[x +y]+ (-x) = x+ (-x) = 00 = x +[y+ (-x)] = x +[(-x ) +y] = [x +(-x )] +y = 0 + y = yBAØI TOAÙN 4. Cho moät soá thöïc x . Chöùng minh 0.x = 0 0.x = (0).x = (0 + 0).x = 0.x + 0.x 0.x = 0BAØI TOAÙN 5. Cho hai soá thöïc x vaø y. Giaû söû x ∫ 0.Chöùng minh x .y = 0 fl y = 0 .y =( x-1). (x .y ) = ( x-1). 0 = 0. ( x-1) y = 0 GIAI TICH 1 - CHUONG 4 145BAØI TOAÙN 6. Cho moät soá thöïc x . Chöùng minh (-1).x = - x(R4) x + (-x) = 0, x + (-1).x = 1.x + (-1).x 1.x + (-1).x = [1+ (-1)].x = 0.xÑònh nghóa . Cho hai soá thöïc x vaø y . Ta ñaët y - x = y + (- x ) GIAI TICH 1 - CHUONG 4 146(R10) x § y vaø y § z  x § z ,(R11) x § y vaø y § x  x = y ,(R12) x § y hoaëc y § x,(R13) x § y vaø z § u  x + z § y + u ,(R14) x § y vaø 0 § u  x u § y u .BAØI TOAÙN 7 . Cho hai soá thöïc x vaø y . Chöùng minh x§y ñ 0§ y -xx § y fl 0 § y -x 0 § y -x fl x § yx § y 0 § y -x x + (- x) § y + ( - x ) (Duøng (R13) )0 § y -x GIAI TICH 1 - CHUONG 4 147BAØI TOAÙN 8 . Cho hai soá thöïc x vaø y . Chöùng minh x § y fl -y § -x(1) x § y -y § -x x Ø -y : -y = x +(-x -y) (1) vaø (R13) : x +(-x -y) § y+(-x -y)Ñònh nghóa . Cho hai soá thöïc x vaø y ta seõ duøng caùc kyùhieäu sau : x¥y neáu vaø chæ neáu y § x , x > y neáu vaø chæ neáu y § x vaø x  y , x < y neáu vaø chæ neáu y ¥ x vaø x  y . GIAI TICH 1 - CHUONG 4 148Ñònh nghóa . Cho hai soá thöïc a vaø b , sao cho a § b .Ta ñaët [a , b ] = { x œ — : a § x § b }Ñònh nghóa . Cho hai soá thöïc a vaø b , sao cho a < b .Ta ñaët (a , b ) = { x œ — : a < x < b } [a , b ) = { x œ — : a § x < b } (- ¶, (a , b b] ) == {{xxœœ—— : : a x< Cho moät soá thöïc a ta ñaët | a|  RS a khi a  0 , T a khi a  0 . Ta goïi | a | laø trò giaù tuyeät ñoái cuûa a.BAØI TOAÙN 9 . Cho moät soá thöïc x . Chöùng minh ...