Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.2 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.2 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier trình bàyphép biến đổi Fourier, ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier, các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2.2 - Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (ĐH Bách Khoa TP.HCM)Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier  2.1 Tích phân Fourier  2.2 Phép biến đổi Fourier  2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier  2.4 Các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1 Tích phân Fourier dạng chuẩn Nếu định nghĩa +∞ 1 A(ω ) = π ∫ −∞ f (t ) cos(ωt ) dt +∞ 1 B (ω ) = π ∫ −∞ f (t ) sin(ωt ) dtThì tích phân Fourier dạng chuẩn là +∞ f (t ) ∫ [ A(ω ) cos(ωt ) + B(ω ) sin(ωt )] dω 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2Tích phân Fourier mũ phức +∞ f (t ) = ∫ −∞ D(ω )e jωt dω +∞ 1 D(ω ) = ∫ f (t)e − jω t dt 2π −∞ F (ω ) = 2π D(ω ) Miền t:  Miền ω: f(t) F(ω)  -1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3 2.2 Biến đổi Fourier Cặp biến đổi Fourier f (t ) ↔ F (ω ) Biến đổi thuận +∞= { f (t)}F (ω ) = ∫ f (t)e − jω t dt −∞ Biến đổi ngược +∞ 1 f (t ) =  {F (ω )} 2π −1 ∫ F (ω )e jω t dω −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4 Ví dụ e− at (t > 0)Tìm biến đổi Fourier phức của = hàm f(t)  a>0 0 (t < 0) Giải Dùng định nghĩa: +∞ +∞ − ( aω)t +j ∞ e=F(ω) ∫= f(t).e dt ∫= − jωt e dt − ( a + jω)t −∞ 0 −(aω) +j 0 1 F(ω) = a +ω j Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5Ví dụ tìm biến đổi Fourier eat (t < 0) 2af(t)  − at a>0 F(ω) = 2 e (t > 0) aω+ 2 -eat (t < 0) −2 jωf(t)  − at a>0 F(ω) = 2 e (t > 0) aω+ 2 f (t ) 1 2(1 − cos ω ) F(ω) = ω2 −1 1 t Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6Tính chất của phép biến đổi Fourier Tính tuyến tính ◦ Nếu f1 (t ) ↔ F1 (ω ) ; f 2 (t ) ↔ F2 (ω ) ◦ Thì a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) ↔ a1 F1 (ω ) + a2 F2 (ω ) (a1 , a2 : caùc haèng soá) Tính đối xứng (đối ngẫu thời gian-tần số) f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ F (t ) ↔ 2π f (−ω ) +∞ +∞ ∫ ∫ jωt f (t ) = 1 2π F (ω )e dω ⇒ f (−t ) = 1 2π F (ω )e − jωt dω −∞ −∞ +∞ ∫ − jωt ⇒ 2π f (−ω ) = F (t ) e dt ...