Bài giảng Toán T1: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 3 bao gồm các kiến thức về giới hạn và sự liên tục của hàm số. Các nội dung chính trong chương này gồm: Tính chất - giới hạn cơ bản và các dạng vô định của hàm số, hàm số liên tục, hàm liên tục đều. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán T1: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 3 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 1 / 30 Nội dung 1 Giới hạn hàm số Định nghĩa giới hạn Tính chất – Giới hạn cơ bản – Các dạng vô định 2 Hàm số liên tục Liên tục – Liên tục một phía Tính chất hàm liên tục trên khoảng đóng 3 Hàm số liên tục đềuHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 1 / 30 Giới hạn hàm số Hàm số y = f (x) được nói là có giới hạn bằng L khi x tiến về a nếu có thể làm cho giá trị của f gần L tùy ý bằng cách cho x đủ gần a (nhưng khác a). Ký hiệu: lim f (x) = L x→a Ví dụ 1. Xét hàm số f (x) = x 2 − x + 2Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 2 / 30Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 3 / 30 Các chú ý: Giới hạn hàm số khi x → a chỉ liên quan tới giá trị của f xung quanh a, không liên quan giá trị của f tại a, thậm chí f có thể không xác định tại a. x −1 Ví dụ 2. Xét lim 2 x→1 x − 1Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 4 / 30Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 5 / 30 Máy tính chỉ tính xấp xỉ nên giá có thể tính sai trong một số trường hợp. Ví dụ 3.Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 6 / 30 Tính các giá trị xung quanh chỉ có tác dụng gợi ý về giới hạn. Trong một số trường hợp không chính xác. π Ví dụ 4. Dự đoán giá trị lim sin bằng cách tính giá trị x→0 x 1 1 tại x = , x = , x = 0.1, x = 0.01, x = 0.001 2 3Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 7 / 30 Giới hạn hàm số (tt) – định nghĩa Định nghĩa (chính xác) giới hạn hàm số Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Ta nói giới hạn của f (x) khi x tiến về a là bằng L nếu: Với mọi ε > 0 cho trước, đều có số δ > 0 để cho: nếu 0 < |x − a| < δ thì |f (x) − L| < ε Tương tự, ta có các khái niệm giới hạn một phía: Giới hạn trái của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là x đủ gần a và x < a. Ký hiệu giới hạn trái: lim− f (x). x→aHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 8 / 30 Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên trái a là bằng L nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : a − δ < x < a ⇒ |f (x) − L| < ε Giới hạn phải của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là x đủ gần a và x > a. Ký hiệu giới hạn phải: lim+ f (x). x→a Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên phải a là bằng L nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ε Định lý. lim f (x) = L ⇔ lim+ f (x) = lim− f (x) = L x→a x→a x→aHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 9 / 30 Ví dụ 5. Xác định các giá trị sau: |x| |x| |x| Ví dụ 6. Tính (a) lim+ (b) lim− (c) lim x→0 x x→0 x x→0 xHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 10 / 30 Giới hạn hàm số (tt) - vô cùng lim f (x) = ∞ nếu: ∀M ∈ R, ∃δ > 0 : x→a 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M. lim f (x) = −∞ nếu: ∀N ∈ R, ∃δ > 0 : x→a 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < N. lim f (x) = L nếu: ∀ε > 0, ∃M ∈ R : x→∞ x > M ⇒ |f (x) − L| < ε. lim f (x) = L nếu: ∀ε > 0, ∃N ∈ R : x→−∞ x < N ⇒ |f (x) − L| < ε. Tương tự cho các giới hạn: lim f (x) = ±∞ và lim± f (x) = ±∞ x→±∞ x→aHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 11 / 30Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 12 / 30 Tính chất giới hạn hàm số lim f (x) = L x→a ⇔ ∀{xn } nếu xn 6= a và lim xn = a thì lim f (xn ) = L. Cho c là hằng số. Nếu lim f (x) ∈ R và lim g (x) ∈ R thì: x→a x→a 1. lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) x→a x→a x→a 2. lim ...