Bài giảng Trị riêng - Véctơ riêng - TS. Lê Xuân Đại

Bài giảng "Trị riêng - Véctơ riêng" cung cấp cho người học các kiến thức: Bài toán thực tế; trị riêng, véctơ riêng của ma trận; chéo hóa ma trận; trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Trị riêng - Véctơ riêng - TS. Lê Xuân Đại TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 1 / 75 Bài toán thực tếLĩnh vực đồ họa hoạt hình trên máy tính 4PQR → 4P 0Q 0R 0bằng cách lấy đối xứng qua trục Ox. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 2 / 75 Bài toán thực tế 1 0A= là ma trận của phép biến đổi. 0 −1Như vậy, với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng cótọa độ (x1, x2) qua phép biến đổi này ta sẽ thuđược một điểm mới có tọa độ (y1, y2) y1 1 0 x1 x1 = . = y2 0 −1 x2 −x2Câu hỏi: Nếu thực hiện phép biến đổi này liên x1tiếp đối với điểm (x1, x2) có nghĩa là Ak . x2thì tọa độ của điểm mới được tính như thế nào?TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 3 / 75 Bài toán thực tếNội dung 1 Trị riêng, véc-tơ riêng của ma trận 2 Chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực 3 Trị riêng, véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính 4 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 4 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận 1 0 −1 0A= ,u= ,v= . 0 −1 −1 1 −1 −1Ta thấy A = và −1 1 0 0 0A = = −1. 1 −1 1TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 5 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trậnĐịnh nghĩaCho ma trận vuông A ∈ Mn×n (K ). Nếu tồn tạiX ∈ K n , X 6= 0 sao cho AX = λ.X , λ ∈ K thì λđược gọi là trị riêng của ma trận A và X được gọilà véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ.Ví dụTìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận 1 4A= 2 3TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 6 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận AX =Biểu thức λXcó dạng 1 4 x1 λx1 = ⇔ 2 3 x2 λx2 1−λ 4 x1 0 = . Hệ phương 2 3−λ x2 0trình thuần nhất này phải có nghiệm X 6= 0 nên 1−λ 4 = 0 ⇔ λ2 − 4λ − 5 = 0 2 3−λ ⇔ λ1 = −1, λ2 = 5.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 7 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trậnỨng với λ1 = −1. Ta có 2x1 + 4x2 = 0 ⇔ x1 = −2α, x2 = α. 2x1 + 4x2 = 0Vậy véctơ riêng có dạng α(−2, 1), α 6= 0.Ứng với λ2 = 5. Ta có −4x1 + 4x2 = 0 ⇔ x1 = β, x2 = β. 2x1 − 2x2 = 0Vậy véctơ riêng có dạng β(1, 1), β 6= 0.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 8 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trậnVí dụTìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận 1 2A= −2 1TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 9 / 75 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trậnBiểu thứcAX = λX có dạng 1 2 x1 λx1 = ⇔ −2 1 x2 λx2 1−λ 2 x1 0 = . Hệ phương −2 1 − λ x2 0trình thuần nhất này phải có nghiệm X 6= 0 nên ...