BÀI SOẠN GIẢI TÍCH 2012-2013

Giới hạn của dãy số thực: Định nghĩa, các tính chất, các tiêu chuẩn hội tụ. Số e. Giới hạn của hàm số: Định nghĩa, định lý giới hạn kẹp. Giới hạn một phía. Một số giới hạn quan trọng. Dạng vô định. Hàm số liên tục: Định nghĩa, các tính chất, liên tục một phía, tính liên tục của hàm sơ cấp. Hàm liên tục trên một khoảng đóng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
BÀI SOẠN GIẢI TÍCH 2012-2013 Chương 1• Giới hạn của dãy số thực:Định nghĩa, các tính chất, các tiêu chuẩn hộitụ.Số e.• Giới hạn của hàm số:Định nghĩa, định lý giới hạn kẹp.Giới hạn một phía. Một số giới hạn quan trọng.Dạng vô định.• Hàm số liên tục:Định nghĩa, các tính chất, liên tục một phía,tính liên tục của hàm sơ cấp.Hàm liên tục trên một khoảng đóng. ÁNH XẠ 1. Định nghĩa: Ánh xạ f từ X → Y là quy luật cho tương ứng với mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất y ∈ YKý hiệu f: X Y Y X x a y = f(x) 2. Phân loại ánh xạÁnh xạ f là đơn ánh: mỗi y ∈ Y, có nhiều nhất một x ∈ Xsao cho y = f(x).Ánh xạ f là toàn ánh: mỗi y ∈ Y, có ít nhất một x ∈ X saocho y = f(x).Ánh xạ f là song ánh: mỗi y ∈ Y, có duy nhất x ∈ X saocho y = f(x). DÃY SỐ THỰC1.Định nghĩa: Dãy số thực là một ánh xạ từ tập N* vào tậphợp các số thực R.Ký hiệu {xn}, n =1, 2,…, để chỉ một dãy số.Ví dụ: 1 1 1 a) { xn } ; xn = ; x1 = 1; x2 = ; L; xn = ;L n 2 n b) { xn } ; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1; L; xn = 1;L c) { xn } ; xn = ( −1) ; x1 =−1; x2 = 1; L; xn = ( −1) ;L n n d) { xn } ; xn = n 2 ; x1 = 1; x2 = 4; L; xn = n 2 ;L n n � 1� 9 � 1� e) { xn } ; xn = �+ �; x1 = 2; x2 = ; L; xn = �+ � L 1 1 ; � n� 4 � n� DÃY SỐ HỘI TỤ1.Định nghĩa: Dãy số {xn} hội tụ về a giá trị xn “rất gần” a khi n đủ lớn. � ∃ a � ∀ >0, ∃N 0 : ∀n > N 0 :| x n - a| < ε R, ε Ký hiệu lim xn = a; lim xn = a n + Ví dụ: 1 a) lim 2 =0 n 1 b) lim n = 0 2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN 1. Nếu dãy số {xn} hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất 2. Nếu limxn, limyn tồn tại thì lim(xn + yn) = limxn + limyn lim(Cxn) = Climxn x n limx n lim nyn= = limxnlimyn lim(x ) y n limy n Ví dụ: �1 1 �a) lim � n + 2 � �2 n � � 1 �b) lim � n � 3. �2 � DÃY SỐ PHÂN KỲ1. Định nghĩa: Dãy {xn} phân kỳ nếu nó không hội tụ2. Giới hạn vô hạn: Định nghĩa: Ta nói dãy số xn có giới hạn vô hạn nếu xn có giá trị tuyệt đối lớn tùy ý khi n đủ lớn. � ∀M > 0, ∃ N 0 , ∀n > N 0 : x n >M Ký hiệu lim x n =Nếu dãy số xn có giới hạn vô hạn và xác định dấu, tức là xn> 0 hoặc xn < 0 bắt đầu từ một chỗ nào đó trở đi, thì ta viếttương ứng. lim x n = + hoặc lim x n = −Ví dụ: Xét dãy số có số hạng tổng quát xn = Ank (n ∈N),trong đó A ≠ 0 và k > 0. Ta có lim An k = + nếu A > lim An k = − n ếu A < 0 0; NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠNChuyển về các giới hạn cơ bản và thay vào biểu thứccần tính giới hạn (nếu giá trị biểu thức xác định) + a >1 + k>0 lim a = n lim n = k 0 0 TIÊU CHUẨN BA DÃY KẸP � n yn zn x ∃ � lim y nĐịnh lý � � � n = limz n = a limx � yn = a lim 0 xn ynHệ quả: � lim x n = 0 limy n = 0 nsinnVí dụ: Chứng minh rằng lim 2 =0 n +1 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆUĐịnh nghĩa: Dãy {xn} được gọi là tăng nếu x n x n + 1 , ∀ nlà giảm nếu x n x n +1 , ∀ n.Dãy tăng hay giảm được gọi là dãy đơn điệu. Dãy {xn} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực c sao cho c, ∀n xn , bị chặn dưới nếu tồn tại số thực d sao cho d, ∀n. xn DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆUVí dụ: Xét các dãy số sau 1 xn = ( −1 ) n a) Dãy {xn} với xn = b) Dãy {xn} với n n � 1� c) Dãy {xn} với xn = n 2 d) Dãy {xn} với xn = � + 1 � � n� Định lý 1. Nếu dãy số {xn} tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ. 2. Nếu dãy số {xn} giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ. n � 1� Ví dụ: Dãy {xn} với x n = �+ � 1 � n� là một dãy tăng và bị chặn trên, do đó nó hội tụ. Gọi e là giới hạn của dãy ấy, ta được. n � 1� lim �+ �= e 1 � n� HÀM SỐĐịnh nghĩa: Hàm số: f : X ̮�R Y Rlà quy tắc cho tương ứng với mỗi x ∈ X, với mỗi y ∈ Y. Ký hiệu: f : X ̮� R Y R x a y = f(x) Miền xác định : Df = {x : f(x) có nghĩa} Miền giá trị : Tf = { y = f(x) , với mọi x ∈ Df } Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) của mặt phẳng tọa độ có hoành độ x là một số thực bất kỳ lấy từ MXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tương ứng của hàm số tại điểm x. HÀM SỐ HỢPĐịnh nghĩa: Nếu f là hàm số có miền xác định là D và ảnh ...