Bài tập giới hạn hàm số

Tài liệu tham khảo Bài tập giới hạn hàm số - ôn thi đại học, cao đẳng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập giới hạn hàm số CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐI/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.a.Giới hạn hữu hạn. Giả sử ( b)là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định a;trên khoảng ( b)x . Khi đó lm f( 0 )= L nếu ∀ s ( ) trong tập a; 0 i x x→x0 d∙y èx nhợp ( b)x0 mà lm xn = x0 ,ta đều có lm f( n )= L . a; i i xb.Giới hạn vô cực. x→x0 ( x→x0 ) lm f( = +∞ haylm f( = −∞ nếu ∀dãy x ∈ ( b)x mà i x) i x) n a; 0lm xn = x0 , ta đều có lm f( n )= +∞ ( hay i f( n )= −∞ ) . i i x lm x2.Giới hạn hàm số tại vô cực. +/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên ( +∞). Ta nói rằng hàm số f a;có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy ( n ) trong xkhoảng ( +∞) mà lm xn = +∞ ,ta đều có lm f( n )= L . a; i i x Ta viết lm f( = L . i x→+∞ x) +/ ¬ngùa lm f( = +∞,lm f( = −∞,lm f( )= L, T t t cã i x) i x) i x x→+∞ x→+∞ x→−∞ lm f( = +∞,lm f( = −∞ . i x) i x) x→−∞ x→−∞2.Một số định lý về giới hạn. Định lý 1: Giả sử xi f( = L x→x0 g( = M . Khi đó: lm x) →∞ vµlm x) ia/ x→x0 [ f( + g( ] = L + M . lm x) x) ib/ x→x0 [ f( − g( ] = L − M . lm x) x) ic/ x→x0 [ f( . x) = L. bi lm0 ( cf( ) = cL. lm x)g( ] i M ®Æc Öt i x→x x)  f(  L x) lm id/ x→x  = , ≠ 0. M 0  g(x) M  Định lý 2: Giả sử lm f( 0 )= L , khi đó: i x x→x0a/ x→x0 f x) = L . lm ( ib/ x→x f( 0 )= L . 3 lm 3 x i 0c/ Nếu f x)≥ 0 x∈ J{ 0},trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm ( ∀ xx0 thì L ≥ 0 vµ lm f( 0 )= L . i x→x0 x4. Giới hạn một bên. +/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( 0; .Ta nói hàm số f có x b)giới hạn bên phải là L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ),nếu với mỗidãy ( n ) trong khoảng ( 0; mà lm xn = x0 ,ta đều có lm f( n )= L . x x b) i i x Ta viết lm+ f x)= L . i ( x→x0 +/ Định nghĩa tương tự cho x→x0 f( = L . lm− x) i +/ Hàm số có giới hạn tại x0 và x→x0 f( = L tồn tại x→x0 f x), lm x) i lm+ ( ilm f x)và lm+ f x)= lm− = L . i ( − i ( ix→x0 x→x0 x→x0 5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực. 1 +/ Nếu x→x0 f x) = +∞ thì x→x lm ( i lm i = 0. 0 f(x) +/ Quy tắc 1.Nếu x→x0 f( = ±∞ x→x0 g( = L ≠ 0,thì x→x0 [ f( . x) cho bởi bảng lm x) i vµlm x) i lm x)g( ] isau: lm f( i x) x→x0 Dấu của L lm [ f( . x) i x)g( ] x→x0 +∞ + +∞ +∞ − −∞ −∞ + −∞ −∞ − +∞ Quy tắc 2: x→x0 f( = L ≠ 0 và x→x0 g( = 0 g( ≥ 0 lm x) i lm x) vµ x) hoÆc x)≤ 0 ∀ i g( f(x)x∈ J{ 0}, trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm x0 ,thì lm x i ...