Bài toán cực trị trong không gian hai từ khía cạnh hình học

Trong sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật thế kỷ XVII, một trong những điều quan tâm của các nhà Toán học thời đó là giải quyết những vấn đề tối ưu hóa trên nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong bài viết này, bằng việc sử dụng phương pháp Lagrange, chúng tôi trình bày một số cách phát triển bài toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học trong không gian hai chiều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toán cực trị trong không gian hai từ khía cạnh hình học16 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI BI TOÁN CỰ CỰC TRỊ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀ CHIỀU TỪ KHÍA CẠ CẠNH HÌNH HỌ HỌC Nguyễn Văn Hào1 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tóm tắ tắt: Trong bài báo này, bằng việc sử dụng phương pháp Lagrange, chúng tôi trình bày một số cách phát triển bài toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học trong không gian hai chiều. Từ khóa: Cực trị có điều kiện, phương pháp Lagrange, không gian hai chiều, cực đại cực tiểu1. MỞ ĐẦU Trong sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật thế kỷ XVII, một trong nhữngđiều quan tâm của các nhà Toán học thời đó là giải quyết những vấn đề tối ưu hóa trênnhiều lĩnh vực khác nhau. Để giải quyết rất nhiều vấn đề đó, yêu cầu đặt ra cho các nhàToán học là phải nghĩ đến bài toán cực trị. Đối với hàm một biến, về cơ bản, đã được giảiquyết gần như toàn vẹn vào thời đó. Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng phương phápnhân tử Lagrange trên không gian hai chiều.2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ2.1. Khái niệm về hàm số nhiều biến số n Cho S là một tập trong . Ánh xạ f : S → được gọi là hàm số xác định trêntập S hay f là hàm số n biến số xác định trên S . n Biến số ở đây là các phần tử của nên có n tọa độ và mỗi tọa độ xem như một nbiến độc lập. Do đó, người ta thường gọi hàm số xác định trên tập con trong là hàmnhiều biến.1 Nhận bài ngày 4.3.2017; chỉnh sửa, gửi phản biện và duyệt đăng ngày 20.3.2017 Liên hệ tác giả: Nguyễn Văn Hào; Email: nguyenvanhaodhsphn2@gmail.comTẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 172.2. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số n Cho f là hàm số nhiều biến xác định trên tập mở U trong vàx = (x 1, x 2,..., x n ) là một điểm trong U . Khi đó, với số ∆x i đủ nhỏ sao cho điểm(x1,..., x i + ∆x i ,..., x n ) ∈ U , ta có thể thiết lập đại lượng : f (x 1,..., x i + ∆x i ,..., x n ) − f (x 1,..., x i ,..., x n ) . ∆x i Nếu đại lượng trên có giới hạn hữu hạn khi ∆x i dần đến 0 thì người ta gọi giới hạn ∂fđó là đạo hàm riêng của f theo biến thứ i tại x và ký hiệu là (x ) hay Di f (x ). ∂x i n Ta cũng gọi gradient của hàm f tại x là vector trong không gian được ký hiệu vàxác định bởi :  ∂f ∂f ∂f   gradf =  , ,...,  . ∂  1x ∂x ∂x  2 n Khi tính đạo hàm riêng của hàm f theo một biến nào đó thì ta xem các biến khác làhằng số và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của một biến số.2.3. Cực trị của hàm số nhiều biến số2.3.1. Khái niệm cực trị hàm số nhiều biến số Cho tập U mở trong n và hàm số f : U → . Điểm x 0 ∈ U được gọi là điểmcực đại (cực tiểu) địa phương của hàm f nếu tồn tại hình cầu mở B(x 0, r ) tâm x 0 bánkính r nằm trong U sao cho f (x ) ≤ f (x 0 ) (tương ứng f (x ) ≥ f (x 0 ) ) với mọix ∈ B(x 0, r ). Ta cũng gọi f (x 0 ) là giá trị cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm f .2.3.2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị n Định lý (Fecmat). Giả sử hàm f xác định trên tập mở U ⊂ và khả vi tại điểmx 0 ∈ U . Nếu f đạt cực trị địa phương tại x 0 thì grad f (x 0 ) = 0 hay ∂f (x ) = 0; với mọi i = 1, n . ∂x i 018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI2.4. Cực trị có điều kiện2.4.1. Bài toán cực trị có điều kiện Bài toán mà ta xét trong phần trước là bài toán tìm cực trị của hàm f trên một tậpđiểm không có bất kì điều kiện ràng buộc nào. Người ta gọi đó là bài toán cực trị tự do haybài toán cực trị không điều kiện. Tuy nhiên trong thực tế người ta thường gặp phải các bàitoán tìm cực trị của một hàm f trên tập điểm thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Nhữngbài toán như vậy gọi là bài toán cực trị có điều kiện. Một trường hợp đặc biệt, khi tập điểm là một mặt cong, thì ta có bài toán tìm cực trịcủa hàm f trên tập tất cả các điểm x = (x 1, x 2,..., x n ) thỏa mãn phương trình biểu diễnmặt cong đó. Bài toán tìm cực tiểu (P ) của hàm f trên mặt cong với phương trình biểudiễn g(x1, x 2,..., x n ) = 0 thường được mô tả như sau : min f = (x , x ,..., x )  1 2 n (P )  g(x 1, x 2,..., x n ) = 0  Trong đó, người ta gọi f (x1, x 2,..., x n ) là hàm mục tiêu và điều kiệng(x1, x 2,..., x n ) = 0 ...