Bài toán đường tròn của GAUSS và đánh giá tiệm cận một số hàm số học

Bài báo giới thiệu về bài toán đường tròn của Gauss và bài toán liên quan, đồng thời tìm hiểu ước lượng tiệm cận một số hàm số học. Thứ nhất, bài báo trình bày một công thức xấp xỉ để xác định số điểm nguyên nằm trong và trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính (căn bậc hai của N) cho trước liên quan đến bài toán đường tròn Gauss.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toán đường tròn của GAUSS và đánh giá tiệm cận một số hàm số học TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN BÀI TOÁN ĐƯỜNG TRÒN CỦA GAUSS VÀ ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC GAUSS A CIRCLE CI C PROBLEM P O AND AN ASYMPTOTIC A PTOTIC EVALUATION A ATION OF O ARITHMETICAL A ITH TICA FUNCTIONS NCTION Ngà N y nhận bài : 07/3/2021 ThS. Nguyễn Nguyễn Tấn Bình ThS. Hoàng Thị Hà My Ngà N y nhận kết quả phản biện : 16/9/2021 Trườ Trường ng Đại Đại học học Tài Tài chính chính -- Kế Kế toán toán Trườ Trường ng Đại Đại học học Quảng Quảng Nam Ngà N y duyệt đăng : 25/9/2021 TÓM TẮT Bài báo giới thiệu về bài toán đường tròn của Gauss và bài toán liên quan, đồng thời tìm hiểu ước lượng tiệm cận một số hàm số học. Thứ nhất, bài báo trình bày một công thức xấp xỉ để xác định số điểm nguyên nằm trong và trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính (căn bậc hai của N) cho trước ( ) liên quan đến bài toán đường tròn Gauss. Đó là R ( N ) = π .N + E ( N ) , trong đó sai số E ( N ) = O N . Thứ hai, bài báo trình bày hai công thức xấp xỉ cho D(N) để xác định số điểm nguyên nằm trong góc phần tư thứ nhất và nằm dưới hoặc trên đường hyperbol. Thứ ba, bài báo trình bày kết quả xấp xỉ của hàm Φ ( t ) là hàm tổng của hàm Euler. Mục đích của tác giả trong bài viết này là nghiên cứu, tìm hiểu một số bài toán, định lý trong bước đầu tiếp cận lý thuyết số giải tích. Từ khóa: Hàm số học, tiệm cận, ước lượng ABSTRACT In this article, Gauss’s circle problem and related ones are introduced and the asymptotic estimation of some arithmetic functions is studied. Firstly, the article presents an approximation formula to determine the number of integer points in and on a circle with a given origin and radius (square root of N) related to ( ) the Gaussian circle problem. That is R ( N ) = π .N + E ( N ) , in which the error E ( N ) = O N . Second, the article presents two approximation formulas for D(N) to determine the number of integer points lying in the first quadrant and below or above the hyperbola. Third, the paper presents the approximation result of the function Φ ( t ) which is the sum function of the Euler function. This article aims at studying some problems and theorems in the first step of approaching analytical number theory. Keywords: Arithmetical function, asymptotic, evaluation. 1. Đặt vấn đề Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó. Lý thuyết số giải tích sử dụng công cụ giải tích và giải tích phức để giải quyết các vần đề về số nguyên, định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann là các ví dụ. Chứng minh về tính siêu việt của các hằng số toán học, như là π hay e, cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết số giải tích. Việc nghiên cứu các hàm số học, đặc biệt là những hàm số học “không chính quy” là một trong những nội dung chính và thú vị của lý thuyết số giải tích. Nội dung bài báo là giới thiệu bài toán đếm số điểm nguyên trong và trên đường tròn cho trước của Gauss (Gauss circle problem) và tìm hiểu về ước lượng một số hàm số học. Các định nghĩa, bổ 78 ĐẠI ẠI HỌC TÀI C ...