Bài toán ứng dụng cực trị trong kinh tế - ThS. Trần Thị Tuấn Anh

Tài liệu Bài toán ứng dụng cực trị trong kinh tế gồm 2 phần: ứng dụng cực trị hàm một biến và ứng dụng cực trị hàm nhiều biến. Tài liệu đưa ra các dạng toán thường gặp và phương pháp giải từng dạng để sinh viên biết cách tính mỗi khi gặp các trường hợp tương tự, phần cuối là bài tập. Đây là tài liệu học tập dành cho sinh viên chuyên ngành Kinh tế, Toán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toán ứng dụng cực trị trong kinh tế - ThS. Trần Thị Tuấn AnhGV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -1- BÀI TOÁN NG D NG C C TR TRONG KINH TPh n 1 : ng d ng c c tr hàm m t bi n I. Bài toán tìm s n lư ng ñ doanh nghi p ñ c quy n có l i nhu n cao nh t Gi s m t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n m t lo i hàng, bi t hàm c u c a doanh nghi p ñ i v i m t hàng ñó là QD = D (P) Hàm t ng chi phí C = C (Q) Trong ñó : • QD : Lư ng c u v hàng hoá c a doanh nghi p (Quantity Demand) • P : Giá bán c a hàng hoá (Price) • C : Chi phí c a doanh nghi p (Cost) • Q : S n lư ng s n ph m ñư c s n xu t trong m t ñơn v th i gian (Quantity) Hãy xác ñ nh m c s n lư ng mà doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n c c ñ i Phương pháp gi i G i Q là m c s n lư ng mà doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n c c ñ i ð doanh nghi p tiêu th h t hàng thì Q = QD => Q = D(P) (Q là hàm s theo bi n P) => P = P(Q) ( P là hàm s theo bi n Q) Doanh thu c a doanh nghi p R = P.Q = P (Q).Q (Doanh thu là hàm s theo bi n Q) Chi phí C = C (Q) (Chi phí là hàm s theo bi n Q) L i nhu n π = R − C = P(Q ).Q − C (Q) (L i nhu n là hàm s theo bi n Q) Bài toán tr thành tìm Q ñ hàm π ñ t c c ñ i ( ðây là bài toán c c tr hàm m t bi n) 1 Ví d : Cho doanh nghi p ñ c quy n s n xu t m t lo i hàng v i QD = 656 − P 2 Hàm chi phí C (Q) = Q 3 − 77Q 2 + 1000Q + 100 Tìm m c s n lư ng Q ñ doanh nghi p có l i nhu n cao nh t Gi i : G i Q là m c s n lư ng c n tìm ð doanh nghi p tiêu th h t hàng thìGV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -2- 1 Q = Q( D ) = 656 − P 2 ⇒ P = 1312 − 2Q Doanh thu c a doanh nghi p R = P.Q = (1312 − 2Q).Q = 1312Q − 2Q 2 Chi phí C = Q 3 − 77Q 2 + 1000Q + 100 L i nhu n π = R − C = −Q 3 + 75Q 2 + 312Q − 100 Bài toán tr thành tìm Q ñ hàm π ñ t c c ñ i ( ðây là bài toán c c tr hàm m t bi n) π ′ = −3Q 2 + 150Q + 312 π ′ = 0 ⇒ Q = 2 ∨ Q = 52 π ′′ = −6Q + 150 • T i ñi m nghi ng Q = 2 ⇒ π ′′ = −6.2 + 150 = 138 > 0 ⇒ π ñ t c c ti u t i Q = 2 (ðây không ph i là m c s n lư ng c n tìm) • T i ñi m nghi ng Q = 52 ⇒ π ′′ = −6.52 + 150 < 0 ⇒ π ñ t c c ñ i t i Q = 52 V y ñ có l i nhu n cao nh t, doanh nghi p ph i s n xu t m c s n lư ng Q = 52. II . Bài toán xác ñ nh m c thu ñ thu ñư c t ng thu t i ña Gi s m t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n m t lo i hàng hóa bi t hàm c u c a doanh nghi p v lo i hàng trên là QD = D (P) và hàm t ng chi phí C = C (Q) Hãy xác ñ nh m c thu t ñ nh trên m t ñơn v s n ph m ñ thu ñư c c a doanh nghi p nhi u thu nh t. Phương pháp gi i G i t là m c thu ñ nh trên m t ñơn v s n ph m và Q là m c s n lư ng doanh nghi p s n xu t ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i. ð doanh nghi p tiêu th h t hàng thì Q = QD => Q = D(P) (Q là hàm s theo bi n P) => P = P(Q) ( P là hàm s theo bi n Q) Doanh thu c a doanh nghi p R = P.Q = P (Q).Q (Doanh thu là hàm s theo bi n Q) Chi phí C = C (Q) T ng thu doanh nghi p ph i n pGV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -3- T = t.Q L i nhu n π = R − C − T = P(Q ).Q − C (Q) − t.Q Trư c h t tìm Q = Q(t ) ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i Sau ñó tìm m c thu t ñ t ng thu T = t.Q (t ) ñ t c c ñ i. Ví d Cho QD = 2000 − P C (Q) = Q 2 + 1000Q + 50 Hãy xác ñ nh m c thu t ñ nh trên m t ñơn v s n ph m ñ thu ñư c c a doanh nghi p nhi u thu nh t. Gi i G i t là m c thu ñ nh trên m t ñơn v s n ph m và Q là m c s n lư ng doanh nghi p s n xu t ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i. ð doanh nghi p tiêu th h t hàng thì Q = QD => Q = 2000 − P => P = 2000 − Q Doanh thu c a doanh nghi p R = P.Q = (2000 − Q ).Q = 2000Q − Q 2 Chi phí C = Q 2 + 1000Q + 50 T ng thu doanh nghi p ph i n p T = t.Q L i nhu n π = R − C − T = −2Q 2 + (1000 − t )Q − 50 Trư c h t tìm Q = Q(t ) ñ l i nhu n ...