Báo cáo nghiên cứu khoa học: MỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING

R.H.Bing đã sử dụng một ví dụ về tập liên thông đường X trong ¡ và chứng minh tính chất điểm bất động của X trong bài báoủa ông trong tạp chí Amer.Math.Monthly c 76(1969),119-132. Trong bài báo này ông còn ra m câu hỏi (câu hỏi 5) là liệu tích đưa ột Descartes Xx[0,1] có hay không tính ch điểm động. Ngay sau đó W.L.Young đã trả lời khẳng ất định cho câu hỏi của Bing và Le Hoang Tri đã chứng minh được rằng nếu A là một AR compact thì XxA có tính chất điểm bất động....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "MỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING" TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 MỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING ONE PROBLEM CONCERNING BING’S QUESTION Nguyễn Hoàng Thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM T ẮT 3 R.H.Bing đã sử dụng một ví dụ về tập liên thông đường X trong ¡ và chứng minh tínhchất điểm bất động của X trong bài báoủa ông trong tạp chí Amer.Math.Monthly c76(1969),119-132. Trong bài báo này ông còn ra m câu hỏi (câu hỏi 5) là liệu tích đưa ộtDescartes Xx[0,1] có hay không tính ch điểm động. Ngay sau đó W.L.Young đã trả lời khẳng ấtđịnh cho câu hỏi của Bing và Le Hoang Tri đã chứng minh được rằng nếu A là một AR compactthì XxA có tính chất điểm bất động. Bài báo này chỉ ra một ví dụ về tập A không là AR có tính ch điểm bất động mà tích ấtDescartes XxA ( trong đó X là tập thi ết lập bởi R.H.Bing trong Theorem 14 của [1] ) có tính chấtđiểm bất động. ABSTRACT in the American Mathematical Monthly (76-1969, pp119-132) R.H.Bing utilized an 3example of an arcwise connected set X in ¡ with a fixed point property. In that paper, heposes a question (question 5) if Xx[0,1] has a fixed point property. In 1970 W.L.Young gave apositive answer to Bing’s question. Le Hoang Tri (1995) proves that if A is a compact AR-spacethen XxA has a fixed point property. This paper gives an example of set A which has a fixedpoint property but is not an AR . And XxA also has a fixed point property.1. Đặt vấn đề Trong toàn bộ bài báo tập ta qui ước X là tập liên thông đường do Bing thiết lậptrong [1] (Hình 1). Năm 1967 Knill ch ra một tập B có tính chất điểm bất động nhưng Bx[0,1] ỉkhông có tính chất điểm bất động (xem [3]). 91 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 3 Năm 1969 Bing đã thiết lập một tập X (Hình 1) trong ¡ (xem [1]) có tính chấtđiểm bất động mà X ∪ D không có tính ch điểm bất động, ở đây D là hình chữ nhật ấtvà X ∩ D là 1 đoạn. Tiếp đó Bing đặt câu hỏi liệu XxI có hay không tính chất điểm bấtđộng với I là đoạn [0,1](xem [1], question 5). Năm 1970 Young trả lời được câu hỏi của Bing bằng việc chứng minh rằng XxIcó tính chất điểm bất động (xem [5]). Năm 1995 Le Hoang Tri trong [4]ãđtổng quát được kết quả của Young vớiviệc chứng minh định lí. Định lí 1. Nếu A là một AR compact thì XxA có tính chất điểm bất động. Câu hỏi đặt ra ở đây là nếu A không phải là AR thì liệu XxA có hay không tínhchất điểm bất động? Trước hết ta đi xây dựng tập A (Hình 2). 1 1 Đặt A1 = {(0,y) ∈  2 | y ∈ [-1,1]}, A 2 ={(x,sin )| x ∈ (0, ]} và A A1 ∪ A 2 .Ta dễ = xπdàng có được các kết quả sau Bổ đề 1. A không phải là một tập liên thông đường và vì vậy nó không phải làmột AR. Bổ đề 2. A có tính chất điểm bất động.2. Giải quyết vấn đề Định lí sau đây là câu trả lời cho câu hỏi đã nêu trong phần đặt vấn đề. Định lí 2. Tồn tại một tập A có tính chất điểm bất động mà không phải là AR vàXxA có tính chất điểm bất động. Chứng minh. Giả sử XxA không có tính chất điểm bất động, khi đó tồn tại một ánh xạ liên tụcf : XxA → XxA không có điểm bất động. Từ đó theo kết quả của Young (xem [5]) thì92 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 f (XxA1 ) ⊄ XxA1 . (1) Kí hiệu p : XxA → X là phép chiếu từ XxA lên X, q : XxA → A là phép chiếutừ XxA lên A Kí hiệu p1 :  2 →  , p 2 :  2 →  tương ứng là các phép chiếu từ  2 lên thànhphần thứ nhất và lên thành phần thứ hai. Do (1) nên f (XxA1 ) ∩ XxA 2 ≠ ∅ . Vậy ta có f (XxA1 ) ∪ XxA 2 là tập liên thông đường. Giả sử f (XxA1 ) ⊄ XxA 2 .Khi đó f (XxA1 ) ∩ XxA1 ≠ ∅ . Vậy f (XxA1 ) ∪ XxA1 là tập liên thông đường. (f (XxA1 ) ∪ XxA1 ) ∩ (f (XxA1 ) ∪ XxA 2 ) ⊃ f (XxA1 ) Do ...