Báo cáo nghiên cứu khoa học: TÍNH TƯƠNG THÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC CHO BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MẶT VỚI VẬN TỐC PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH

Mục đích của bài báo này là nhằm chứng minh tính tương thích của phương pháp tập mức cho bài toán chuyển động mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình [3,4]. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng định nghĩa của mặt chuyển động  t không phụ thuộc vào việc chọn hàm khởi đầu u0 xác định mặt khởi đầu  0 .
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " TÍNH TƯƠNG THÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC CHO BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MẶT VỚI VẬN TỐC PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH" TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 TÍNH TƯƠNG THÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC CHO BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MẶT VỚI VẬN TỐC PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH CONSISTENCE OF THE LEVEL SET METHOD FOR SURFACE EVOLUTION WITH THE SPEED DEPENDING ON MEAN CURVATURE NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đa Năng ̀̃ TÓM TẮT Mục đích của bài báo này là nhằm chứng minh tính tương thích của phương pháp tập mức cho bài toán chuyển động mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình [3,4]. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng định nghĩa của mặt chuyển động  t không phụ thuộc vào việc chọn hàm khởi đầu u0 xác định mặt khởi đầu  0 . ABSTRACT The aim of this paper is to prove the consistence of the level set method for surface evolution with the speed depending on mean curvature [3,4]. We will show that th e definition of the evolving interface  t does not depend upon the particular choice of initial function u0 which determines the initial surface  0 .1. Đặt vấn đề Như trong [3, 4], chúng tôi đã nghiên cứu sự chuyển động của mặt với vận tốcphụ thuộc vào độ cong trung bình. Trong bài báo này, chúng tôi tiếp tục quá trình bằngviệc đưa ra một định nghĩa tổng quát cho quá trình chuyển động mặt t t 0 bắt đầu bởimột mặt  0 . Cụ thể, giả sử  0 là một tập con compact của  n . (1) Sau đó chọn một hàm liên tục bất kỳ u0 :    sao cho: n    0  x   n | u0 ( x )  0 , (2) u0 là hằng số trên n  | x | S với một S  0và: (3) Trong [3, 4], chúng tôi đã chứng minh được rằng, tồn tại duy nhất một nghiệmyếu cho bài toán chuyển động mặt:  ux ux  ut    ij  i 2j  u xi x j  f ( x) u trong n  (0, ) , (4)  u    u  u0 trên   t  0 n (5) Sau đó, ta định nghĩa tập compact 43 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008    t  x   n | u ( x, t )  0 , (6)với mỗi t  0 . Ta cần kiểm chứng rằng t t 0 được xác định.2. Giải quyết vấn đề Trong phần này chúng tôi tập trung vào việc chứng minh tính tương thích củaphương pháp tập mức cho bài toán chuyển động mặt (4), (5).Định lý. Giả sử f  0 trên  n và u0 :  n   liên tục với ˆ    0  x   n | u0 ( x )  0 , ˆ (7)và thỏa mãn (3). ˆ ˆGiả sử u là một nghiệm yếu của bài toán (4), (5) với u0 thay cho u0 . Khi đó:    t  x   n | u ( x, t )  0 , ˆ (8)với mỗi t  0 . Hệ quả là, định nghĩa (6) không phụ thuộc vào cách chọn hàm khởi đầuu0 thỏa mãn (3).Chứng minh: Trước hết , ta lưu rằng, nếu u0  0 thì u  0 . Thật vậy, u  0 là nghiệmyếu duy nhất của phương trình (4) với điều kiện đầu u0  0 . Do đó, theo [3, Định lý 1],ta có u ( x, t )  0 với mọi ( x, t )   n  [0,) . Bây giờ, ta giả sử u0 , u0  0 . Khi đó u , u  0 , trong đó u và u tương ứng là ˆ ˆ ˆ ˆnghiệm yếu của (4) với điều kiện đầu là u0 và u0 .   ˆ  t  x   n | u ( x, t )  0 . ˆĐặt:Với k  1, 2, , ta định nghĩa E0 ...