Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến

Nghiên cứu này nhằm giới thiệu sự cải tiến của một bất đẳng thức nối tiếng Cauchy – Schwarz. Căn cứ vào sự cải tiến đó, nghiên cứu này giới thiệu sự cải tiến của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz giữa trung bình bình phương và trung bình số học. Sự làm mịn của bất đằng thức tam giác trong Rn cũng được đề cập đến trong bài này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ CẢI TIẾN IMPROVED CAUCHY - SCHWARZ INEQUALITY ThS. Phạm Thị Ngọc Hà Trường Đại học Hàng hải Việt Nam Email: hapham@vimaru.edu.vn Ngày tòa soạn nhận được bài báo:09/03/2021 Ngày phản biện đánh giá: 19/03/2021 Ngày bài báo được duyệt đăng: 26/03/2021 Tóm tắt: Nghiên cứu này nhằm giới thiệu sự cải tiến của một bất đẳng thức nối tiếng Cauchy–Schwarz. Căn cứ vào sự cải tiến đó, nghiên cứu này giới thiệu sự cải tiến của bất đẳngthức Cauchy – Schwarz giữa trung bình bình phương và trung bình số học. Sự làm mịncủa bất đằng thức tam giác trong Rn cũng được đề cập đến trong bài này. Từ khóa: Bât đẳng thức Cauchy – Schwarz, sự cải tiến, trung bình bình phương, trungbình số học, bất đẳng thức tam giác. Summary: This study aims to present an improvement of the famous Cauchy-Schwarz inequalityin . Based on this improvement, this paper introduces the improvement of the inequalitybetween quadratic and arithmetic mean of n positive real numbers. A new refinement oftriangle inequality in Rn is also investigated in this paper. Keywords: Cauchy – Schwarz inequality, improvement, quadratic and arithmetic mean,triangle inequality. 1. Đặt vấn đề Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz là một trong những bất đẳng thức được biết đến nhiều nhấttrong toán học. Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz được phát biểu như sau: 10 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆBất đẳng thức Cauchy –Schwarz là một trong những bất đẳng thức được biếtđến nhiều nhất trong toán học. Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz được phát biểunhư sau:Cho a = ( a1 , a2 ,..., an ) và b = ( b1 , b2 ,..., bn ) là hai bộ n số thực khi đó 2  n  n n ∑ ∑ ∑ 2 2  ai bi  ≤ ai bi  i =1  =i 1 =i 1Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a và b tỷ lệ với nhau. Bất đẳng thức này cònđược gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz –Buniakowski hay đơn giản hơn làbất đẳng thức Buniakowski.Nếu thêm điều kiện của tham số thì bất phương trình trên sẽ được làm mạnhhơn. Ví dụ, vào năm 1952 A. Ostrowski [4, p.289] chứng minh rằngNếu a = ( a1 , a2 ,..., an ) , b = ( b1 , b2 ,..., bn ) và c = ( c1 , c2 ,..., cn ) là n bộ số thực sao cho a n nvà b không tỷ lệ với nhau và ∑ ai ci = 0 và i =1 ∑b c i =1 i i = 1 thì n ∑a 2 i 2 n  nn  ≤ ∑ ai .∑ bi −  ∑ ai bi  2 2 i =1 n  i =1  ∑ 2 c =i 1 =i 1 i i =1Vào năm 1996, McLaughlin chứng minh mệnh đề sauNếu a = ( a1 , a2 ,..., a2 n ) và b = ( b1 , b2 ,..., b2 n ) là bộ gồm 2n số thực khi đó ta có 2 2  n  2n 2n  2n   ∑ ( a2i b2i −1 − a2i −1b2i )  ≤ ∑ ai ∑ bi −  ∑ ai bi  2 2  i =1  =i 1 =i 1  i =1 Một sự làm mịn bất đẳng thức Cauchy –Schwarz khác được xây dựng bởi Alzervào năm 1998. Ông đã chứng minh rằng, nếu a = ( a1 , a2 ,..., an ) , b = ( b1 , b2 ,..., bn ) làhai dãy số thực và 2 a2 an n n ai ai −TẠP  2 QUẢN 1  CHÍ KHOA  n  11 HỌC0 = a0 < a1 ≤ < ... ≤ và 0 < bn ≤ bn −1 ≤ ... ≤ b1 thì ∑ bi ∑  ai − LÝ i ≥  ∑ ai bi   bVÀ CÔNG NGHỆ 2 n =i 1 =i 1  4   i =1  ...