Bất đẳng thức Cauchy

Tham khảo tài liệu bất đẳng thức cauchy, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức Cauchy PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY1. Bất đẳng thức CauChy: a+b a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒ ≥ ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b 2 a+b+c 3 b) Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ⇒ ≥ abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c 3 a +a +...+a n n c) Cho a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, ... , an ≥ 0 ⇒ 1 2 ≥ a1.a2 ...an . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n a1 = a2 = ... = an2. Ví dụ:1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng: a b a) + ≥2 b) ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab b a ( ) 32) Chứng minh: ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ≥ 1 + 3 abc với a, b, c không âm.3) Chứng minh: 2 a + 3 3 b + 4 4 c ≥ 9 9 abc xy yz zx4) Chứng minh: + + ≥ x + y + z với x, y, z > 0 z x y a b c 35) Chứng minh: a) + + ≥ với a, b, c > 0 b+c c+a a+b 2 a2 b2 c2 a+b+c b) + + ≥ b+c c+a a+b 23. Bài tập:1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh: 1 1 1 1 1 a) ( a + b )  + ≥4 b) ( a + b + c )  + + ≥9 a b a b c c) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( 2 2 2 ) d) ( a + b + c ) a + b + c ≥ 9abc bc ca ab 4 4 4 9 e) + + ≥ a+b+c f) + + ≥ a b c a + 2b + c 2a + b + c a + b + 2c a + b + c a b c 1 1 1 g) + + ≥ + + bc ca ab a b c2) Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực dương thoả a1.a2 ...an = 1 . Chứng minh: ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ...( 1 + an ) ≥ 2n x2 y 2 z 2 x y z3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh 2 + 2 + 2 ≥ + + y z x y z x n +1 n4) Chứng minh: > n! ; n ∈ N 2 85) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) .xyz ≤ 7296) Cho a ≥ 1; b ≥ 1 Chứng minh rằng: a b − 1 + b a − 1 ≤ ab7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: a+b + b+c + c+a ≤ 68) Chứng minh ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 8 xyz với x, y, z > 09) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh n n n 1+ x  1+ y  1+ z    +  +  ≥3  2   2   2 10) Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh 3 x + 2 y + 4 z ≥ xy + 3 yz + 5 zx11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 212) Chứng minh với mọi số thực a, ta có: 3a −4 + 34 a +8 ≥ 2 18 xyz13) Cho x, y , z > 0 và thỏa x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy + yz + zx > 2 + xyz a 2 b2 c2 d 2 1 1 1 114) Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh 5 + 5 + 5 + 5 ≥ 3 + 3 + 3 + 3 b c d a a b c d 1 1 1 915) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh 2 + 2 + 2 ≥ 2 x y z x + y2 + z216) Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 3 x3 + 17 y 3 ≥ 18 xy 2 4 ( a + 5 ) ( b + 4 ) ( c − 3) ( d − 6 ) 1 với a > −5, b > −4, c > 3, d > 617) Chứng minh ...