Bất đẳng thức thuần nhất P2

Bất đẳng thức thuần nhất P2Tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức thuần nhất P24.6. Định lý Rolle và ứng dụng 149trong đó a, b, c, d ≥ 0 và a2 + b2 + c2 + d2 = 4. Điều kiện giả thiết có thể viết lạidưới dạng p2 + 3t2 = 9.Chú ý rằng a3 + b3 + c3 + d3 = a3 + b3 + c3 + d3 + 3( abc + bcd + cda + dab) − 3( a + b + c + d)( ab + bc + cd + da + ac + bd).Do đó ta có thể viết 8 3 8 2 a 3 + b3 + c 3 + d 3 = − p + pt + 12r. 27 3Bất đẳng thức cần chứng minh được viết dưới dạng an 16 8 8 p2 − t2(4.21) p ≥ − p3 + pt2 + 12r + 4 . 3 27 3 3Sử dụng giả thiết p2 + 3t2 = 9, ta đồng bậc hoá bất đẳng thức (4.21) về dạng 6p3 ≥ −10pt2 + 81r + 3( p2 − t2 ) hu p2 + 3t2 .Đây là bất đẳng thức đồng bậc, ta có thể giả sử p = 1. Vì −10pt2 ≤ 0 nên bâygiờ ta chỉ cần chứng minh 2 ≥ 27r + (1 − t2 ) 1 + 3t2 . tSử dụng bổ đề 4.35 ta có (1 − t)2 (1 + 2t)pv r≤ . 27Do đó, ta sẽ cần chỉ ra rằng 2 ≥ (1 − t)2 (1 + 2t) + (1 − t2 ) 1 + 3t2 . √Bất đẳng thức này tương đương với 1 + 3t2 − 2t3 ≥ (1 − t2 ) 1 + 3t2 . Bìnhphương hai vế cho ta (1 + 3t2 − 2t3 )2 − (1 − t2 )2 (1 + 3t2 ) = t2 [(t − 1)4 + 8t2 (1 − t) + 4] ≥ 0.Bất đẳng thức này đúng. Đẳng thức xảy ra khi t = 0, tức là a = b = c = d = 1 . 2Phép chứng minh hoàn tất.4.7. Chọn biến số nhỏ nhất, biến số lớn nhất 1504.7 Chọn biến số nhỏ nhất, biến số lớn nhất Dựa trên tính đồng bậc, tính bình đẳng giữa các biến số, ta sẽ sắp thứ tự vàchọn phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất, từ đó giảm dần biến số. Với cách này tathậm chí không cần sử dụng đến định lý Rolle, và giải quyết được một lớp cácbất đẳng thức bốn biến số.Bài toán 4.47. Chứng minh rằng với a, b, c, d ≥ 0 thì 3( a4 + b4 + c4 + d4 ) + 4abcd ≥ ( a + b + c + d)( a3 + b3 + c3 + d3 ).Chứng minh. Nếu một trong bốn số a, b, c, d bằng 0 thì bất đẳng thức cần chứngminh hiển nhiên đúng. Xét trường hợp a, b, c, d > 0, vì tính đồng bậc nên ta cóthể chọn an(4.22) d = min { a, b, c, d} = 1.Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành(4.23) 3( a4 + b4 + c4 + 1) + 4abc ≥ ( a + b + c + 1)( a3 + b3 + c3 + 1).Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc, vì (4.22) nên p ≥ 3. Biểu diễn theop, q, r, chú ý rằng hu a4 + b4 + c4 = ( p 2 − 2q)2 − 2(q2 − 2pr), a3 + b3 + c3 = p( p2 − 3q) + 3r,bất đẳng thức (4.23) có thể viết dưới dạng(4.24) 2p4 − p3 − p − 2 − 9p2 q + 3pq + 6q2 + 9pr + r ≥ 0. tTheo bổ đề 4.35, ta có 1 3 ( p − 3pt2 − 2t3 ).pv r≥ 27Ta cần chứng minh p2 − t2 p2 − t2 2p4 − p3 − p + 2 − 9p2 + 3p 3 3 ( p2 − t2 )2 p 1 +6 + ( p3 − 3pt2 − 2t3 ) + ( p3 − 3pt2 − 2t3 ) ≥ 0. 9 3 27Bất đẳng thức này tương đương với(4.25) ( p − 3)2 ( p + 6) + 2t2 (9p2 − 15p − 9pt + 9t2 − t) ≥ 0.Vì p ≥ 3 nên 6p2 ≥ 18p > 15p + t, và 3p2 + 9t2 ≥ 9pt, suy ra 9p2 − 15p − 9pt + 9t2 − t ≥ 0.Từ đây suy ra (4.25) đúng. Phép chứng minh hoàn tất.4.7. Chọn biến số nhỏ nhất, biến số lớn nhất 151Bài toán 4.48. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d ≥ 0 thì ( a + b + c + d)4 + 176abcd ≥ 27( a + b + c + d)( abc + bcd + cda + dab).Chứng minh. Nếu một trong các số bằng không, ta có ngay điều phải chứngminh. Khi các số đều dương, ta giả sử d = min { a, b, c, d} = 1.Khi đó, ta cần chứng minh ( a + b + c + 1)4 + 176abc ≥ 27( a + b + c + 1)( abc + ab + ac + bc).Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, và r = abc. Ta có p ≥ 3, bất đẳng thức trêncó dạng an(4.26) p4 + 4p3 + 6p2 + 4p + 1 − 27pq − 27q + (149 − 27p)r ≥ 0.Đặt q = 1 ( p2 − t2 ), 0 ≤ t ≤ p, ta có theo bổ đề 4.35 3 ...