Bất đẳng thức trung bình điều hòa

Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn tri tuyet doi hiệu của hai cạnh còn lại. Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức trung bình điều hòa BÊt BÊt ®¼ng thøc trung b×nh ®iÒu hoµ.Bµi 1.Bµi to¸n 1 1 1 1Cho hai cÆp sè d−¬ng x1 , x2 vµ y1 , y2 ta cã: + ≤ (1) 11 11 1 1 + + + x1 x2 y1 y2 x1 + x2 y1 + y2(1) gäi lµ bÊt ®¼ng thøc trung b×nh ®iÒu hoµ ®èi víi hai cÆp sè.Chøng minh. x1 y1 xy ( x + x )( y + y2 ) + 22 ≤ 1 2 1(1) ⇔ x1 + y1 x2 + y2 x1 + x2 + y1 + y 2⇔ ( x1 + y1 + x2 + y2 ) [ x1 y1 ( x2 + y2 ) + x2 y2 ( x1 + y1 ) ] ≤ ( x1 + x2 ) ( y1 + y2 ) ( x2 + y2 ) ( x1 + y1 ) 2⇔ ( x1 y2 − x2 y1 ) ≥ 0, ∀ x1 , x2 , y1 , y2Më réng bµi to¸n cho n sè tù nhiªn ta cãMëMÖnh ®Ò 1 Cho hai bé n sè tù nhiªn xi , yi , i = 1, n (n ∈ N ) ta cã: n 1 1 ∑1 (2) ≤ 1 1 1 + + i =1 n n xi yi ∑ xi ∑y i i =1 i =1 (2) ®−îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc trung b×nh ®iÒu hoµ víi hai bé n sè d−¬ng.Chøng minh k 1 1 ∑1Gi¶ sö (2) ®óng víi n = k nghÜa lµ: ≤ 1 1 1 + + i =1 k k xi yi ∑x ∑y i i i =1 i =1§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x1 : y1 = x2 : y2 = ... = xk : ykTa chøng minh cho (2) ®óng víi n = k + 1. ThËt vËy, k +1 k 1 1 1 1 1 ∑1 =∑ + ≤ + 1 11 1 1 1 1 1 1 + + + + + i =1 i =1 n n xi yi xi yi xk +1 yk +1 xk +1 yk +1 ∑x ∑y i i i =1 i =1 k k ...