Biến phức định lý và áp dụng P3

Biến phức định lý và áp dụng P3 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Biến phức định lý và áp dụng P3102 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i strong đó 6α2 a= − β, 16 2α3 1 b= + αβ − γ, 16 2 1 c = (3α − 16βα2 + 64αβ − 256δ). 4 16Ti p theo ta gi i (3.24) theo cách gi i c a bài toán trư c.Ví d 3.18. Cho a > 0. Khai tri n bi u th c √ 8 √ 8 1−a x + 1+a xta thu đư c đa th c (b c 4) P (x). Gi i phương trình P (x) = 0.L i gi i. Đ t a2 x = t ta thu đư c phương trình t4 + 28t3 + 70t2 + 28t + 1 = 0.Đây là phương trình h i quy nên d dàng đưa v d ng phương trình b c hai y 2 + 28y + 68 = 0v i y = t + 1. t √ Phương trình b c hai này có hai nghi m y1,2 = −14 ± 128. T đó ta tìmđư c t và tính đư c phương trình có 4 nghi m th c âm.Ví d 3.19. Gi i phương trình t4 + 4t3 + 3t2 − 12t − 16 = 0.L i gi i. Đ t t = x − 1. Ta đư c phương trình x4 = 3x2 + 10x + 4.3.1. Phương trình và h phương trình đ i s 103Ta xác đ nh a sao cho 102 = 4(3 + 2a)(4 + a2) hay 2a3 + 3a2 + 8a − 13 = 0.Ta th y a = 1 tho mãn phương trình. V y có th vi t phương trình đã chodư i d ng (x2 + 1)2 = 5x2 + 10x + 5,hay (x2 + 1)2 = 5(x + 1)2 .Gi i phương trình này ta thu đư c các nghi m là √ √ 5± 1+4 5 x1,2 = · 23.1.4 Phương trình b c cao Ta xét m t s trư ng h p đ c bi t c a phương trình b c cao gi i đư c b ngcách s d ng các đ ng nh t th c đ i s và lư ng giác.Ví d 3.20. Cho b s m, n, p ∈ R. Gi i phương trình x3 + m 3 x3 + n3 3 3 x−m x−n x−p + 3 3 − + · · · = 0. (x + m)3 x +p 2 2 x+m x+n x+p (x + n)3 + (x + p)3L i gi i. Nh n xét r ng x3 + m 3 1 3 (x − m)2 = + . (x + m)3 4 4 (x + m)2Vì v y phương trình đã cho tương đương v i phương trình sau 1 3 (x − m)2 1 3 (x − n)2 1 3 (x − p)2 + + + + + − 4 4 (x + m)2 4 4 (x + n)2 4 4 (x + p)2 3 3 x−m x−n x−p − + · · · = 0. (3.25) 2 2 x+m x+n x+p104 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i sĐ t x−m x−n x−p = a, = b, =c x+m x+n x+pvà đ ý r ng 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 3 + a + + b + + c − + abc = 0 4 4 4 4 4 4 4 2có th bi n đ i đư c v d ng (ab + c)2 = (1 − a2 )(1 − b2). (3.26)Thay các giá tr a, b, c theo bi n x, m, n, p ta đư c 4[x3 + (mn − mp − np)x]2 (ab + c)2 = , (x + m)2(x + n)2 (x + p)2 4mx 4nx 1 − a2 = 2 , 1 − b2 = . (x + m) (x + n)2V y (3.26) có d ng √ √x2[x2 + 2(x + p) mn + mn − mp − np][x2 − 2(x + p) mn + mn − mp − np] = 0.Gi i ra ta đư c các nghi m c a phương trình là x1 = x2 = 0, √ √ √ x3,4 = ±( mp − np) − mn, √ √ √ x5,6 = mn ± ( mp + np. πVí d 3.21. Cho 0 < α < . n+2Ch ng minh r ng v i m i đa th c Q(x) ∈ R[x] b c n thì đa th c P (x) = (x2 − 2x cos α + 1)Q(x)không th có t t c các h s đ u không âm.3.1. Phương trình và h phương trình đ i s 105L i gi i. Gi s Q(x) = a0xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + anvà P (x) = b0 xn+2 + b1 xn+1 + · · · + bn+1 x + bn+2 .Khi đó   b0 = a0, ...