Biến phức định lý và áp dụng P8

Biến phức định lý và áp dụng P8 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Biến phức định lý và áp dụng P8352 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Đi u này d n đ n lim xsn −1−m = 0. n→∞ M t khác, xsn = λxsn −1 + H(xsn −1−m , xsn −1−m ) λxsn + H(xsn , xsn −1−m ) (1 − λ)xsn H(xsn , xsn −1−m )(vì xsn xsn −1−m và H(x, y) là hàm đ ng bi n theo bi n x) nên ta nh n đư c H(x, y) H(xsn , xsn −1−m ) lim inf lim inf 1−λ (x,y)→(0,0) x n→∞ xsnđi u này trái v i (4.48). Đ nh lý đư c ch ng minh.Đ nh nghĩa 6.13. V i m t nghi m gi i n i ng t {xn }n c a (4.43) ta g i t pt t c các đi m t c a dãy các véc tơ {vn = (xn−m , xn−m+1 , · · · , xn )}n là t pgi i h n ô mê ga c a {xn }n và kí hi u là ω(x).Nh n xét 6.6. T p gi i h n ω(x) compact và b t bi n đ i v i ánh x T : Rm+1 −→ Rm+1 + +xác đ nh b i T vn = vn+1 . N u m t nghi m {xn }n là tu n hoàn thì t p h p gi ih n ω(x) g m h u h n đi m. Ngư c l i, n u t p h p gi i h n ω(x) g m h uh n đi m, thì b n thân nó là m t nghi m tu n hoàn (xem [?]). Hơn n a, ánhx T : ω(x) −→ ω(x) là toàn ánh. Vì v y, t n t i hai nghi m có ngu n g c{Pn }n∈Z và {Qn }n∈Z (giá tr ban đ u đư c ch n trong t p gi i h n ω(x)) c aphương trình (4.43) v i m i n sao cho lim sup xn = P0 , lim inf xn = Q0 n→∞ n→∞và Q0 Pn P0 , Q0 Qn P0 , ∀n ∈ Z.6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 353 Ta có P0 = λP−1 + F (P−m−1 ), Q0 = λQ−1 + F (Q−m−1 ),và h qu là, F (P−m−1 ) F (Q−m−1 ) P0 , Q0 . 1−λ 1−λ T công th c này ta có 1 1 · inf F (x) lim inf xn lim sup xn · sup F (x). 1 − λ x>0 n→∞ n→∞ 1 − λ x>0 T đây ta luôn gi s r ng phương trình x = λx + F (x) có nghi m duynh t x = x ∈ (0, ∞). Ta s xác đ nh đi u ki n đ m i nghi m c a (4.43) h it t i tr ng thái cân b ng duy nh t x v i t t c các ch m.Đ nh lý 6.41. Gi s F là hàm đơn đi u tăng và F (x) lim sup < 1 − λ, (4.49) x→∞ x F (x) lim inf > 1 − λ. (4.50) x→0 xKhi đó m i nghi m {xn }n c a (4.43) h i t đ n x.Ch ng minh: V i m i x ∈ [0, ∞) đ t H(x, y) = F (x), ∀y ∈ [0, ∞), th thì đi uki n (4.47) và (4.48) là th a mãn và đ nh lý 6.40 đư c áp d ng. Đi u này cónghĩa r ng m i nghi m c a (4.43) là gi i n i ng t. Vì v y, v i m i nghi m{xn }n c a (4.43), t n t i hai nghi m có ngu n g c {Pn }n∈Z và {Qn }n∈Z c a(4.43) sao cho lim sup xn = P0 , lim inf xn = Q0 (4.51) n→∞ n→∞và Q0 Pn P0 , Q0 Qn P0 , ∀n ∈ Z.Hơn n a, F (P−m−1 ) F (P0) P0 (4.52) 1−λ 1−λ354 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phânvà tương t F (Q−m−1) F (Q0) Q0 . (4.53) 1−λ 1−λ Đ t F (x) ξ(x) = − (1 − λ). xT (4.52) và (4.53) ta thu đư c ξ(P0 ) 0 và ξ(Q0 ) 0. M t khác, t (4.49)suy ra lim supx→∞ ξ(x) < 0, và t (4.50) ta nh n đư c lim inf x→0 ξ(x) > 0. Dođó, hai trư ng h p sau có th x y ra: Ho c là trong (0, Q0 ] và [P0 , ∞) có haiđi m K , K khác nhau sao cho ξ(K ) = ξ(K ) = 0, ho c P0 = Q0 = x. Theogi thi t thì trư ng h p th hai x y ra. Đ nh lý đư c ch ng minh.Đ nh lý 6.42. Gi s F là hàm đơn đi u gi m. Đ t F (x) f (x) = . ...