BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNGTHỨC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Việc xây dựng và sử dụng hệ thống các dạng bài tập trong quá trình dạy học nói chung và trong bồi dưỡng HSG nói riêng đã góp phần rèn luyện năng lực giải toán về ĐT và BĐT cho HS.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNGTHỨC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH Chuyên đề BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNGTHỨC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS Chương I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG 1.1. Năng lực giải toán về ĐT và BĐTNăng lực 1: Năng lực nhận biết các HĐT trong biến đổi đạisố ăng lực 2: Năng lực sử dụng, vận dụng các HĐT ăng lực 3: Năng lực “nhìn” đối tượng của BT theo cách khác ăng lực 4: Năng lực tìm mối quan hệ giữa các đại lượng ăng lực 5: Năng lực thao tác thành thạo các dạng toán cơ bản ăng lực 6: Năng lực qui lạ về quen ăng lực 7: Năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tựNăng lực 8: Năng lực phân tích tổng hợp Chương I NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG 1.1. Năng lực giải toán về ĐT và BĐT.Năng lực 1: Năng lực nhận biết các hằng đẳngthức (HĐT) trong biến đổi đại số. Ví dụ: Tính giá trị biểu thức. A = x2 − 5x − 2xy + 5y + y2 + 4 biết x − y = 1. - Quan sát biểu thức A nhận thấy trong biểu thức có HĐT (x − y)2 Do đó: A = ( x2 − 2xy + y2) − 5(x− y) + 4 A = (x − y)2 − 5(x − y) + 4 = 1 − 5 + 4 = 0. 1.1. Năng lực giải toán về ĐT và BĐT.Năng lực 2: Năng lực sử dụng, vận dụng các HĐT Ví dụ: Biết rằng a + b + c = 0. Chứng minh rằng (CMR): (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4).Trong BT này một suy nghĩ tự nhiên có thể nảysinh là: HĐT nào cho ta mối quan hệ giữa a+ b+ cvà a2+b2+c2; giữa a2+b2+c2 và a4 + b4 + c4. Hoặc là:Từ giả thiết có mối quan hệ b + c = −a. Vậy HĐTnào cho ta mối quan hệ giữa b2, c2 và a2; giữa b4,c4 và a4 ?Bình phương 2 vế của ĐT −a = (b + c) ta được:a2 = b2 + 2bc + c2 2bc = a2 − b2 − c2Tiếp tục bình phương 2 vế của ĐT này ta được:4b2c2 = a4 + b4 + c4 − 2a2b2 + 2b2c2 − 2a2c2do đó a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2Cộng 2 vế của ĐT này với a4 + b4 + c4, ta có:2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2= (a2+b2+c2)2 (đpcm)Nhận dạng và sử dụng tốt các HĐT xuất hiệntrong BT giúp chúng ta thấy được BT rất quenthuộc, lời giải ngắn gọn. Chương I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG 1.1. Năng lực giải toán về ĐT và BĐT. Năng lực 3: Năng lực “nhìn” đối tượng (của bài toán) theo cách khác. Ví dụ: Cho a,b,c là các số khác 0 thỏa mãn: a3b3+ b3c3+ c3a3 = 3a2b2c2. Tính giá trị của biểu thức: � a� b� c� � � P = �+ �1 + �1 + � 1 � � � b� c� a� � �Nhìn vào giả thiết a3b3 + b3c3 + a3c3 = 3a2b2c2, nếu ta coi: ab= x; bc = y; ca = z vì thế ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz, gần gũivới dạng (x+y+z)3. Khi đó: Ta có bài toán mới dễ làm hơn. ( x + y) ( y + z) ( z + x) a zb xc y = ; = ; = � P= b yc za x xyz Chương I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG 1.1. Năng lực giải toán về ĐT và BĐT.Năng lực 4: Năng lực tìm mối quan hệ giữa cácđại lượng.Để tìm được lời giải bài toán thì năng lực tìm raquan hệ giữa các điều kiện cho trong giả thiết,giữa giả thiết và kết luận là rất cần thiết. x 2 − yz y 2 − zx z 2 − xyVí dụ: CMR: Nếu = = a b c a 2 − bc b 2 − ca c 2 − ab thì = = x y zTừ các ĐT đã cho trong BT khó có thể biểu diễn ở dạngtường minh a, b, c theo x, y, z hay ngược lại, ta phải dựa vàođại lượng trung gian.Các biểu thức xuất hiện ở GT và KL thể hiện vai trò bìnhđẳng giữa x, y, z, giữa a, b, c. Nếu ta đặt các tỉ lệ thức ở giảthiết là k thì mối quan hệ đó được biểu thị một cách bìnhđẳng của a, b, c theo k, x, y, z. Chương I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG 1.1. Năng lực giải toán về ĐT và BĐT.Năng lực 5: Năng lực thao tác thành thạo các dạng toán cơbản Ví dụ : Giải PT: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24 (1) Đây là những dạng toán cơ bản, đối với HS giỏi cần phải có năng lực thao tác thành thạo dạng cơ bản này. Đối với PT (1) ta thường nhân như sau: (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4 (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 Đặt x2 + 5x + 5 = t, thì PT (1) (t − 1)(t + 1) = 24 t2 = 25 t = ±5 từ đó tính được x = 0; x = −5. Chương I. NHỮNG VẤN ĐỀ 1.1. Năng lực giải toán về ĐT và CHUNGBĐT.Năng lực 6: Năng lực qui lạ về quen. Ví dụ: Sau khi đã cho HS làm quen với dạng toán phântích thành nhân tử: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.Bằng cách ghép từng cặp nhân tử một cách phù hợp, tacó: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = [(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+ 15= (x2 + 8x + 7)(x2 +8x + 15) +15 (*)Đặt x2 + 8x +7 = a, (*) trở thànha(a + 8) +15 = a2 + 8a + 15 = (a2 + 8a + 16) - 1= (a + 4)2 - 1 = (a + 3)(a + 5) Thay vào ta có: (x2 + 8x + 10)(x2 +8x + 12) = [(x + ...