CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ

Tham khảo bài viết các bài toán bất đẳng thức hay và khó, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓVõ Quốc Bá Cẩn CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓPhần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz.I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz.Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn ta có (a1b1 + a 2 b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n bn ) 2 ≤ (a12 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an )(b12 + b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + bn ) 2 2 2 2Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai : a j = bi : b j ∀i, j = 1, n.II. Các bài toán áp dụng.Bài 1. (Jack Garfunkel)Cho các số không âm a, b, c , chứng minh bất đẳng thức a b c 5 + + ≤ a+b+c a+b b+c c+a 4Giải.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ a⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ a a ⎜∑ ⎟ = ⎜ ∑ a(5a + b + 9c) ⋅ ⎟ ≤ ⎜ ∑ a(5a + b + 9c) ⎟⎜ ∑ ⎟ ⎜ a+b ⎟ ⎜ ⎟⎜ (a + b)(5a + b + 9c) ⎟ ⎜ cyc (a + b)(5a + b + 9c) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cyc cyc cyc ⎛ ⎞ a = 5(a + b + c) 2 ⎜ ∑ ⎟ ⎜ (a + b)(5a + b + 9c) ⎟ ⎝ ⎠ cycNhư thế, ta chỉ cần chứng minh ⎞5 ⎛ a ( a + b + c )⎜ ∑ ⎟ ⎜ ( a + b)(5a + b + 9c ) ⎟ ≤ 16 ⎠ ⎝ cycNhư điều này hiển nhiên đúng vì ⎛ ⎞ 5 a − (a + b + c)⎜ ∑ ⎟ ⎜ (a + b)(5a + b + 9c) ⎟ 16 ⎝ ⎠ cyc ∑ ab(a + b)(a + 9b)(a − 3b) + 243∑ a 3 b 2 c + 835∑ a 3 bc 2 + 232∑ a 4 bc + 1230a 2 b 2 c 2 2 cyc cyc cyc cyc = ≥0 16(a + b)(b + c)(c + a )(5a + b + 9c)(5b + c + 9a )(5c + a + 9b)Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a : b : c = 3 : 1 : 0.Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn)Cho các số không âm a, b, c có tổng bằng 1 , chứng minh rằng 2 yêuVõ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng 11 a + b2 + b + c2 + c + a2 ≤ 5Giải.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có 2 2 ⎛ a + b2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ≤ ⎛ ∑ (4a + 4b + c) ⎞⎛ ∑ a + b ⎞ 2 ⎜∑ a + b2 ⎟ = ⎜ ∑ 4a + 4b + c ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 4a + 4b + c ⎟ ⎜ cyc 4a + 4b + c ⎟ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc ⎠⎝ cyc ⎠ ⎝ ⎠ a + b2 a (a + b + c) + b 2 = 9∑ = 9∑ cyc 4a + 4b + c 4a + 4b + c cycNhư thế, ta chỉ cần chứng minh rằng a(a + b + c) + b 2 121 9∑ ≤ (a + b + c) 4a + 4b + c 25 cycTa có 163∑ a 4 + 3003∑ a 2 b 2 + 1975∑ ab 3 − 725∑ a 3 b + 10920∑ a 2 bc cyc cyc cyc ...