Các đẳng thức và biến đổi tương đương

Tài liệu tham khảo được trích từ các trang web chuyên ôn luyện Đại học cho các bạn học sinh phổ thông có tư liệu ôn thi hóa tốt vào các trường Cao đẳng, Đại học
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các đẳng thức và biến đổi tương đương Chương I NG TH C B NG PHƯƠNG PHÁP BI N I TƯƠNG ƯƠNGI . Tính ch t cơ b n: ax > bx khi x > 0a. a > b ⇔  ax < bx khi x < 0  a − b > x − y  a > x a > x ⇒ ⇒ a + b > x + y Chú ý  ab > xyb.   b > y b > y a x >  b y a > x ≥ 0 ⇒ ab > xyc.  b > y ≥ 0d. a > b ≥ 0 ⇒ a 2 > b 2H qu : a > b ⇔ a 2 > b 2 11e. a > b > 0 ⇒< ab 11 a 0 • x < A ⇔ −A < x < A x < − A • x > A⇔  x > AII. Vài b t ng th c thông d ng: V i a, b, c,… tùy ý ( a, b, c... ∈ R )a. a 2 + b 2 ≥ 2ab ( D u “ = ” x y ra ⇔ a = b )b. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( D u “ = ” x y ra ⇔ a = b = c ) 1 1 1 1 4c. V i a, b > 0 ta có: (a + b)  +  ≥ 4 ⇔ + ≥ a b a+b a bIII. Các ví d :  π πVí d 1: Cho x, y ∈  − ;  . Ch ng minh b t ng th c:   44 tan x − tan y ⇔ tan x − tan y > 1 − tan x tan y ⇔ tan 2 x + tan 2 y − 2 tan x tan y < 1 − 2 tan x tan y + tan 2 x tan 2 y ⇔ tan 2 x + tan 2 y − tan 2 x tan 2 y − 1 < 0 ⇔ tan 2 x(1 − tan 2 y ) − (1 − tan 2 y ) < 0  π π ⇔ (1 − tan 2 y )(tan 2 x − 1) < 0 ( Luôn úng ∀x, y ∈  − ;  )  4 4Ví d 2: Ch ng minh r ng v i m i s th c a, b, c th a mãn i u ki n a + b + c = 1 thì: a b c 111 + b + c ≥ 3.  a + b + c  a 3 3 3  333Gi i: 1 Vì hàm s gi m nên ta có: 3x 1 1 ab ab 0 ≥ ( a − b)  a − b  ⇒ b + a ≥ a + b 3 3  3 3 33 Tương t ta có: bc bccaca + b≥ b+ c; a+ c≥ c+ a c 33333333 ng th c trên ( chú ý r ng a + b + c = 1 ), ta ư c: C ng v theo v các b t 1 1 1 a b c a b c + b + c −  a + b + c  ≥ 2 a + b + c  a 3 3 3 3 3 3  3 3 3  a b c 111 ⇔ a + b + c ≥ 3  a + b + c  ( pcm) 3 3 3  333Ví d 3:a. Cho x > 0, y > 0 và xy ≤ 1 . Ch ng minh: 2 1 1 ≥ + (1) 1+ x 1+ y 1 + xyb. Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d và bd ≤ 1 . Ch ng minh: 4 1 1 1 1 ≥ + + + 1 + 4 abcd 1 + a 1 + b 1 + c 1 + dGi i:a. Vì x > 0, y > 0 nên b t ng th c (1) tương ương v i: 2(1 + x)(1 + y ) ≥ (1 + xy )(1 + y ) + (1 + xy )(1 + x) ⇔ 2 + 2 x + 2 y + 2 xy ≥ 1 + xy + y + y xy + 1 + xy + x + x xy ⇔ ( x + y ) + 2 xy ≥ xy ( x + y ) + 2 xy ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + 2( xy − xy ) ≥ 0 ⇔ ( x + y )(1 − xy ) + 2 xy ( xy −1) ≥ 0 ⇔ (1 − xy )( x + y − 2 xy ) ≥ 0 2 ⇔ (1 − xy )( x − y )2 ≥ 0 (2) ( x − y ) 2 ≥ 0  Vì:  nên (2) úng ( pcm)  xy ≤ 1 ⇒ 1 − xy ≥ 0   a , b, c , d > 0  a , b, c , d > 0 a ≤ b  b. a ≤ b ≤ c ≤ d nên  ⇒ ac ≤ db ≤ 1 c≤d bd ≤ 1   bd ≤ 1  Theo k t qu câu a, ta có: 1 1 2 1 + a + 1 + c ≤ 1 + ac (a, c > 0; ac ≤ 1)   1+ 1 ≤ 2 (b, d > 0; bd ≤ 1)  1 + c 1 + d 1 + bd 1 1 1 1 1 1 ⇒ + + + ≤ 2.  +  1+ a 1+ b 1+ c 1+ d  1 + ac 1 + bd  2 ≤ 2. 1 + ac . bd 4 = ( pcm) 1 + abcdVí d 4 ...