Cấp số và dãy số

Cấp số và dãy số là các khái niệm quan trọng trong chương trình Toán phổ thông, đặc biệt là đối với chương trình chuyên toán. Các bài toán về dãy số khá đa dạng, khai thác các tính chất số học, đại số, giải tích, lượng giác của chúng. Tài liệu "Cấp số và dãy số" nghiên cứu các bài toán cơ bản nhất của dãy số, cấp số, mời các bạn cùng tham số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Cấp số và dãy số CấpsốvàdãysốCấpsố vàdãysố làcáckháiniệmquantrọngtrongchươngtrìnhToánphổthông,đặcbiệtlàđốivớichươngtrìnhchuyêntoán.Cácbàitoánvềdãysốkhá đadạng,khaitháccáctínhchấtsốhọc,đạisố,giảitích,lượnggiáccủachúng. Trongloạtbàinày,chúngtanghiêncứucácbàitoáncơ bảnnhấtcủadãysố,chủyếuliênquanđếncáctínhchấtđạisốcủachúng,đólàbàitoántìmsốhạngtổngquátvàtínhtổngnsốhạngđầutiên.Bài1.(10/5/2009)1.DãysốĐịnhnghĩa.DãysốlàmộthàmsốtừSvàoR,trongđó S={1,2,…,n}đốivớidãysốhữuhạn,hoặc S=Nđốivớidãysốvôhạnbắtđầutừchỉsố0 S=N*đốivớidãysốvôhạnbắtđầutừchỉsố1Vớidãysốf:SRtathườngkýhiệuf(i)làfi.Dãysốthườngđượckýhiệulàa1,a2,…,an;a1,a2,…,an,…;{ai}i=1n;{ai}i=1 .Cácsốaiđượcgọilàcácsốhạngcủadãysố,trongđóa1làsốhạngđầutiên(hoặca0),ailàsốhạngthứ i.Sn=a1+a2+…+anđượcgọilàtổngcủansốhạngđầutiên.Nếuailàsố nguyênvớimọiithuộcSthìtanói{a i}làdãysố nguyên.Vídụdãyan=(1)nn,dãyFibonaccilàcácdãysốnguyên.CácxácđịnhmộtdãysốDãysốcóthểđượcxácđịnh(cho)bằngcáccáchdướiđây1)Liệtkêcácphầntử(dùngchocácdãysốhữuhạn).Vídụ xétdãycácchữsốtronghệthậpphân0,1,2,…,9.2)Chobởicôngthứctườngminhdạngai=f(i).Vídụ,chodãysố {ai}i=1,…,nxácđịnhbởiai=1/(1+i2).3)Chobởicôngthứctruyhồi.Vídụ +Chodãysố{an}xácđịnhbởia0=a1=1,an+1=an+an1vớimọin=1,2, … +Chodãysố{an}xácđịnhbởia1=2009,an+1bằngtổngbìnhphươngcácchữsốcủaanvớimọin=1,2,…4)Môtảbằngtínhchất.Vídụ:chodãycácsốnguyêntố,chodãycáchợpsốnguyêndương.Mộtvídụkhác:Gọianlàsốcácxâunhịphânđộdàinkhôngcóhaibít1kềnhaudãysố{an}xácđịnh.Trongsố cáccáchxácđịnhdãysố thìcáchthứ 2vàcáchthứ 3làquantrọng nhấtvàthườngđượcsửdụngnhất.Cácdạngtoánliênquanđếndãysố1)Tìmcôngthứctínhsốhạngtổngquátcủadãysố:Từ mộtdãysố đượccho bởicáccáchkhác(liệtkê,truyhồi,môtả tínhchất)tìmracôngthứctườngminhdướidạnghàmsố.Vídụ:TìmcôngthứctổngquátchosốhạngthứncủadãyFibonacci,tìmcông thứctínhan–sốcácxâunhịphânđộdàinkhôngcó2bit1kềnhau.2)Tínhtổngnsốhạngđầutiêncủamộtdãysố.Vídụ:Tínhcáctổngsau Sn=12+22+…+n2; Sn=1/2+2/4+3/8+…+n/2n; Sn=1/1.2+1/2.3+…+1/(n1).n.3)Chứngminhcáctínhchấtliênquanđếndãysố,trongđócóthể làcáctính chấtđạisố(đẳngthức,bấtđẳngthức),sốhọc(sự chiahết,chữ sốtậncùng,nguyêntốcùngnhau…),giảitích(bịchặn,cógiớihạn…)Vídụ:+Chứngminhrằngvớidãysố Fibonacci{Fn}xácđịnhbởiF0=F1=1,Fn+1=Fn+Fn1vớimọin 1tacóFn+1Fn1–Fn2=(1)n1. Fn 1 1 5 +Chứngminhrằng lim . n Fn 2 +TìmtấtcảcácsốchínhphươngtrongdãysốFibonacci.4)Cácbàitoánvềbấtđẳngthứcliênquanđếndãysố5)CácbàitoánvềgiớihạndãysốTrongbàinày,tatậptrungchủyếuvàohaibàitoánđầutiên.2.CấpsốCấpsốlànhữngdãysốcóquyluậtđặcbiệt.Cóhaicấpsốthườnggặpvàquantrọngnhấtlàcấpsốcộngvàcấpsốnhân.Cấpsốcộng.Cấpsốcộng{a1,a2,…,an}làdãysốxácđịnhbởi 1) a1=a; 2) ak+1=ak+dvớimọik=1,…,n1.a1đượcgọilàsốhạngđầutiên,anlàsốhạngcuối,aklàsốhạngthứkcủacấpsốcộng;nđượcgọilàsốsố hạngcủacấpsốcộng;dđượcgọilàcôngsaicủacấpsốcộng.Sởdĩcóthuậtngữcôngsainàylàvì a2–a1=a3–a2=…=an–an1=d.Cấpsốcộngcòncóthể đượcđặctrưngbởiđẳngthứcak+1–2ak+ak1=0vớimọik=2,…,n1.Ngoàicáccấpsố cộngcóhữuhạnphầntử,ngườitacònxétnhữngcấpsốcộngcóvôhạnphầntử.Vídụdãycácbộisốdươngcủa3làmộtcấpsốcộngcóvôhạnphầntửvớisốhạngđầulà3vàcôngsailà3.Haibàitoáncơbảnliênquanđếndãysốcóthểgiảikhádễdàngđốivớicấpsốcộng.CụthểCôngthứctínhsốhạngtổngquátcủacấpsốcộng:ak=a+(k1)d.Côngthứctínhtổngnsốhạngđầutiêncủacấpsốcộng: (a1 a n )n n(n 1)d Sn a1 a2 ... a n na . 2 2Ở đâykhichứngminhcôngthứcthứ nhất,tađãdùngýtưởngcủaGauss(khi ôngcònlà1cậubé)khiôngtínhtổng1+2+…+99+100rằng1+100=2+ 99=…=50+51gồm50cặpsố,mỗicặpcótổngbằng101.Cuốicùng,cũngcầnnhắcđếncôngthứctínhsốsốhạngcủamộtcấpsốcộng khibiếtsốhạngđầu,sốhạngcuốivàcôngsai: Sốsốhạng=[(Số ...