CHƯƠNG 2 HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ

Một hàm số f từ tập A đến tập B là qui luật tương quan ngẫu nhiên từ mỗi phần tử trong A đến một và chỉ một phần tử trong B.2.1 Hàm số phức:Một hàm số phức f là một hàm số có miền xác định ( D(f) ) và miền giá trị ( R(f) ) là tập con của tập số phức CVD :f(z) = -z3 + 2.z + zz = ib) z = 2 – ic) z = 1+2i
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG 2 HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ CHƯƠNG 2 HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ2.1 Hàm số phức2.2 Ánh xạ của hàm số phức2.3 Ánh xạ tuyến tính2.4 Hàm lũy thừa đặt biệt 2.4.1 Hàm lũy thừa zn 2.4.2 Hàm lũy thừa z1/n Một hàm số f từ tập A đến tập B là qui luật tương quan ngẫu nhiên từ mỗi phần tử trong A đến một và chỉ một phần tử trong B.2.1 Hàm số phức:Một hàm số phức f là một hàm số có miền xác định ( D(f) ) và miền giá trị ( R(f) ) là tập con của tập số phức CVD : f(z) = -z3 + 2.z + za) z = i b) z = 2 – i c) z = 1+2iGiải:a) f(i) = -(i)3 + 2.(i) + i = 4ib) f(2 - i) = -(2 - i)3 + 2.(2 - i) + 2 - i = -(8 – 12i + 6i2 - i3) + 4 – 2i + 2 – i = 4 + 8ic) f(1 + 2i) = -(1 + 2i)3 + 2.(1 + 2i) + 1 + 2i = -(1 + 6i + 12i2 + 8i3) + 2 + 4i +1 +2i = 14 + 8i• Phần thực và phần ảo của hàm số phức Ta có w = f(z) mà z = x + iy đặt w = u + iv Giả sử w = z2 => w = ( x + iy)2 = x2 - y2 + 2xyi => f(z) = u(x,y) + v(x,y)i u(x,y) gọi là phần thực. v(x,y) gọi là phần ảo.• VD: f(z) = 6z – 5 + 9ivới z = x + iy⇒f(z) = 6.(x + iy) - 5 + 9i = 6x – 5 + (6y + 9)i => u(x,y) = 6x – 5 v(x,y) = 6y + 9• Hàm số mũ số phức ez Hàm số ez được định nghĩa như sau : ez = excosy + iexsinythì được gọi là hàm số mũ số phức và u(x,y) = excosy - phần thực v(x,y) = exsiny - phần ảoMột số tính chất: e0 =1 z1 + z 2 z1 z 2 e e =e e z1 z1 − z 2 =e z2 e với n = 0, ±1,± 2,… (ez )n = enzVD: π a) z = 3 + 3 i π => x = 3, y = 3 π π πe = e cos ( ) + ie sin (3 ) 3 + 3i 3 3 3 1 3 = -e + ie 3 3 2 2Toạ độ cực: z = x + iy biểu diễn ở dạng Đề Các : z = r(cosθ + isin θ) = reiθNếu w = f(z), ta thay z = r(cosθ + isin θ) lúc này hàm số được viết dưới dạng toạ độ cực như sau: w = f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ)u(r, θ) và v(r, θ) vẫn được gọi là phần thực và phần ảo của w.VD: θ + i.3.sin(2.θ) với z = i f(z) = r .cos 2 2Ta có: π + i.sin π i = cos 4 π r=1,θ= ⇒ 2 π π f(i) = cos + 3.s in .i 2 2 = 22.2 Ánh xạ của hàm số phức: Công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu hàm thực trong đại số sơ cấp là đồ thị của hàm. Đồ thị của hàm y = f(x) là tập tất cả các điểm (x,f(x)) trong hệ toạ độ Đề Các 2 chiều. Một định nghĩa tương tự cho hàm số phức. Tuy nhiên nếu w= f(z) là hàm phức, cả z và w đều nằm trên mặt phẳng phức, nó gồm tất cả các điểm (z,f(z)) nằm trên không gian 4 chiều (2 chiều từ đầu z vào 2 chiều từ đầu ra của w).Dĩ nhiên tập con của không gian 4 chiều không thể dễ dàng minh hoạ.Vì vậy: Chúng ta không thể vẽ đồ thị của hàm phứcNếu w = f(z) là ánh xạ phức và nếu S làtập các điểm trong mặt phẳng z, chúng tagọi tập các ảnh ảo S qua f là ảnh của S,kí hiệu S’. Nếu tập S có tính chất cộng thì S là miền xác định, kí hiệu là D, D’.Sự biểu diễn giống như hình 2.1 mang ý nghĩa truyền thông tin về mối liên hệ tổng quát giữ điểm tuỳ ý z và ảnh của nó w = f(z).VD:Ảnh của nữa mặt phẳng dưới w = iz. Tìm ảnh của nửa mặt phẳng Re ≥ 2 dưới ánh xạ phức w = iz và biểu diễn hình học ánh xạ.Giải: Đặt S là nửa mp chứa tất cả những điểm phức z với Re 2. Tất cả những điểm z trên đường x = 2 có pt z = 2 + iy trong vùng (-∞ < y < ∞). Giá trị của f(z) = iz tại các điểm trên đường thẳng là w = f(2 + iy) = -y + 2i. Vì tập các điểm w = -y +2i là đường v = 2 trong mp w.Ta kết luận đường x = 2 trong mp z được ánh xạ lên đường v = 2 trong mp w bởi ánh xạ w = iz.Ở hình 2.2 a) tập S có thể được miêu tả bởi 2 bất đẳng thức đồng thời: x ≥ 2 và -∞ < y < ∞ (1) Để biểu diễn ảnh của S, chúng ta biểu diểu ánh xạ w = iz trong phần thực và ảo u, v của nó.Ta thay z = x +iy vào w = iz w = i(x + iy) = -y + ix⇒ (x,y) = -y u và v(x,y) = x (2)Từ (1),(2) : v ≥ 2 và -∞ < u < ∞Đó chính là tập S’ ảnh của S qua w = iz bao gồm tất cả các điểm w = u + iv trong mp thõa 2 bất đẳng thức đồng thời: v ≥ 2 và -∞ < u < ∞VD 2: Ảnh của đường thẳng w = z2Tìm ảnh của đường thẳng đứng x = 1 dưới ánh xạ phức w = z2 và biểu diễn hình học ánh xạ.Giải: Đặt C là tập các điểm thuộc đường thẳng x = 1 hay tập các điểm z = 1 + iy với -∞ < y < ∞. Như ở VD 1 phần thực và phần ảo của w = z2 là u(x,y) = x2 – y2 và v(x,y) = 2xy . Vì z = 1 + iy ⇒ u(1,y) = 1 – y2 ,v(1,y) = 2y ⇒ S’ là tập các điểm thuộc w = u + iv thoã 2 pt đồng thời: u = 1 − y 2 v2  ⇒u = 1 -  v = 2 y (−∞ < y < ∞ ) 4 y có thể lấy giá trị thực từ v nên v nhận giá trị thực C’ (ảnh của C) là đường parabol trong mp w với đỉnh (1,0), cắt u tại (0,±2).Trênhình đường x = 1 được ánhxạ thành 2đường parabol v qua ánh xạ phức u=1- 4w=z 2Đường cong tham số trong mp phức:• Định nghĩa: Nếu x(t) và y(t) là những hàm thực của biến thực t ,khi đó tập C gồm tất cả các điểm z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b đgl đường cong tham số hoặc đường cong tham số phức.Hàm trị phức của biến thực t, z(t) = x(t) + y(t) đgl hàm tham s ố của C• Những đường cong tham số chính trong mp phức : Đường thẳng:Hàm tham số của đường thẳng qua điểm z0 và z1 là: z(t) = z0(1 – t) + z1t ...