CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  M với M là hằng số - Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = M 2. Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi (x, y,…) thuộc D...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾTI. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦAMỘT BIỂU THỨC 1.Định nghĩa1: Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  M với M là hằng số - Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = M 2. Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  m với m là hằng số - Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = mII. CÁC KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),…Ta ký hiệu giá trị lớn nhất củabiểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trịnhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP. 1) Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xác định x = x0, tức là maxA = A(x0), maxB = B(x0) thì maxP = P(x0). 1 1 2) Cho P = với A  0 thì maxP = A min A 3) a) P(x,y) = [Q(x,y)]2n + a  a với a là hằng số, n  N* Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, ythuộc D b) P(x,y) = - [Q(x,y)]2n + b  b với b là hằng số, n  N* Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, ythuộc D 4) A  0 thì max(A2) = (maxA)2 và min(A2) = (minA)2 5) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si: a) a + b  2 ab ( a  0, b  0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a b b) + 2 (ab  0) b a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b 6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx 7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối a + b  ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  0 8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai. Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c ( a  0 )Khi đó:Nếu   0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, x  R bNếu   0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, x  R , x  2aNếu   0 thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và tráidấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm.