Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Tham khảo tài liệu chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚChuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚNgoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mởrộng. từ đẳng thức (1) ta suy ra: (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2caMở rộng: 2 2 2 2 (a1  a2  ...........a n ) 2  a1  a2  .............  a n 1  a n  2a1a 2  ...........  2a n 1 a nTổng quát: (a  b) n  B( a )  b n  B(b )  a n CÁC VÍ DỤ :Ví d ụ 1 : ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau: Cho x+y=9 b) x 2 +y 2 ; c)x 3 +y 3 . a) x-y ;Giải a) (x-y) 2 =x 2 -2xy+y 2 =x 2 +2xy+y 2 -4xy=(x+y) 2 -4xy=9 2 -4.14=25=5 2 suy ra x-y =  5 b) (x+y) 2 =x 2 +y 2 +2xy suy ra x 2 +y 2 =(x+y) 2 -2xy = 9 2 -2.14 = 53 c) (x+y) 3 = x 3 +y 3 +3x 2 y+3xy 2 = x 3 +y 3 +3xy(x+y) suy ra x 3 +y 3 =(x+y) 3 -3xy(x+y) =9 3 -3.14.9 = 351Nhận xét: 1. Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng nhau.Ngược lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phương bằng nhau. ( A – B) 2 = ( B – A ) 2 2. Để tiện sử dụng ta còn viết: 3 ( A + B) 3 = A 3 + B + 3AB(A+B) ( A – B) 3 = A 3 - B 3 - 3AB(A-B )Ví d ụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x + 3y – 5) 2 - 6xy + 26Giải : A = x 2 + 9y 2 + 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26 = ( x 2 - 10x + 25) + ( 9y 2 - 30y + 25 ) + 1 = ( x -5) 2 + ( 3y-5) 2 + 1 Vì (x-5) 2  0 (dấu “ =” xảy ra  x=5 ); (3y-5) 2  0 (dấu “=” xảy 5 5 ) nên A  1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y  ).ra  y= 3 3Ta viết min A = 1.Nhận xét : 1. Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau. Chẳng hạn: (A – B ) 2 = A 2 - 2AB + B 2 hoặc ngược lại 2. Bình phương của mọi số đều không âm : ( A – B ) 2  0 (dấu “ =” xảy ra  A = B).Ví d ụ 4 : Cho đa thức 2x 2 - 5x +3.Viết đa thức trên dưới dạng mộtđa thức của biến y trong đó y =x+ 1.Giải: thay x bởi y-1, ta được : 1x 2 - 5x +3 = 2( y – 1) 2 - 5( y-1 ) + 3 = 2 ( y 2 - 2y + 1) – 5y + 3 + 5 = 2y 2 - 9y + 10Ví d ụ 5 : Số nào lớn hơn trong hai số A và B ? A = (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1) B = 2 32 . Giải: Nhân hai vế của A với 2-1, ta được : A = (2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1). áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 nhiều lần, ta được: A = 2 32 -1. Vậy A < B.Ví d ụ 6 : Rút gọn biểu thức : A = (a + b + c) 3 + (a - b – c) 3 -6a(b + c) 2 . Giải : A = [a + (b + c)] 3 + [a – (b + c)] 3 - 6a(b + c ) 2 = a 3 + 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + (b + c) + a 3 -3a 2 (b +c) + + a 3 - 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 - (b + c) 3 - 6a(b + c) 2 = 2a 3 BÀI TẬP VẬN DỤNG:A – Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4)Bài 6: Tính nhamh kết quả các biểu thức sau: a) 127 2 +146.127 + 73 2 ; b) 9 8 .2 8 - (18 4 - 1)(18 4 + 1) ; c) 100 2 - 99 2 + 98 2 - ..... + 2 2 - 1 2 d) (20 2 +18 2 +...+4 2 +2 2 ) – (19 2 +17 2 +...+3 2 +1 2 ) ; 780 2  220 2 e) 125 2  150.125  75 2Bài 7 :Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí : 2582  242 2 ; b) B = 263 2 + 74.263 + 37 2 ; C = 136 2 -92.136 + a) A = 2 2 254  24646 2 ; a) D = (50 2 + 48 2 +..........+2 2 ) – (49 2 +47 2 +...........+3 2 + 1 2 )Bài 8 : Cho a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca . Chưng minh rằng a = b = c .Bài 9 : Tìm x và tìm n  N biết x 2 + 2x + 4 n - 2 n1 +2 = 0.B – Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :Bài 10 : Rút gọn các biểu thức : a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ; b) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3; c) (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ;Bài 11 : ...