Chuyên đề: Chuyên đề hàm số - Bùi Qũy

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn tập môn Toán, mời các bạn cùng tham khảo nội dung chuyên đề "Chuyên đề hàm số" dưới đây. Nội dung chuyên đề giới thiệu với các bạn những nội dung về ứng dụng đạo hàm, Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, cực đại và cực tiểu, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Chuyên đề hàm số - Bùi Qũy Sở GD&ĐT Hà Nam Trung Tâm GDTX Duy Tiên Chuyên đềChuyên đề hàm số BÙI QUỸ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số1.1 Tóm tắt lí thuyết1. Định nghĩaĐịnh nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b). Ta nói:- Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thìf (x1 ) < f (x2 ).- Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2thì f (x1 ) > f (x2 ).Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi là đơn điệu trên khoảng đó.2. Điều kiện đủ của tính đơn điệuĐịnh lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàmtrên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (b) − f (a) f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a) hay f 0 (c) = b−aĐịnh lý 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).a) Nếu f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng đó.b) Nếu f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng đó.Định lý 1.3 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f 0 (x) ≥ 0 hoặc f 0 (x) ≤0) ∀x ∈ (a; b), và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm sốy = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó.Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau:- y = f (x) là hàm số đồng biến trên (a; b) ⇐⇒ f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)- y = f (x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇐⇒ f 0 (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)* Các bước xét tính đơn điệu của hàm số:- Tìm các điểm tới hạn- Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.- Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số.3. Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai11.2 Ví dụ và bài tập. 1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 1 Phải nhắc lại định lí thuận và định lí đảoCHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 2a) y = 4x3 − 3x + 1 x+1 x4 + 2x2 − 3 c) y = e) y = 3 x−1 x2b) y = x4 + x3 − 3x2 + 1 x2 + 3x + 3 f) y = x − 3x2 + 15 4 4 d) y = x+1 1. 1.2 Cho hàm số y = − x3 + (m − 1)x2 + (m + 3)x − 4. Tìm m để hàm số tăng trên (0; 3) 3. 1.3 Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m − 1. Tìm m để hàm số tăng trên (−1; +∞). 1.4 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + 1. Tìm m để hàm số tăng trên tập xác định mx2 + 6x − 2. 1.5 Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số giảm trên (1; +∞) x+2 1 1. 1.6 Cho hàm số y = mx3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + . Tìm m để hàm số tăng trên (2; +∞) 3 3 2x2 + (1 − m)x + 1 + m. 1.7 Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số tăng trên (1; +∞) x−m 1. 1.8 Cho hàm số y = x3 + mx2 − mx + 1. Tìm m để hàm số: 3a) Tăng trên tập xác địnhb) Tăng trên (−∞; 0) x2 + mx − 5. 1.9 Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số: 3−xa) Giảm trên tập xác định b) Giảm trên (−1; 0) c) Tăng trên (−2; 2)2 Cực đại và cực tiểu2.1 Tóm tắt lí thuyết1. Điều kiện cần để hàm số có cực trịĐịnh lý 2.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểmđó thì f 0 (x0 ) = 0.2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trịĐịnh lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0(có thể trừ điểm x0 ).i) Nếu f 0 (x) > 0 trên khoảng (x0 − δ; x0 ); f 0 (x) < 0 trên khoảng (x0 ; x0 + δ) thì x0 là một điểmcực đại của hàm số y = f (x).ii) Nếu f 0 (x) < 0 trên khoảng (x0 − δ; x0 ); f 0 (x) > 0 trên khoảng (x0 ; x0 + δ) thì x0 là một điểmcực tiểu của hàm số y = f (x)CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 3Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua x0 , đạo hàm đổi dấu thì x0 là một điểm cực trị. Và nếu đổidấu từ + sang - thì x0 là điểm cực đại còn nếu đổi dấu từ - sang + thì x0 là điểm cực tiểu.Quy tắc I- Tìm f 0 (x)- Tìm các ...