Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số. 1. Chiều biến thiên của hàm số. Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x 
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm sốChuyên đề I:Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạohàm và đồ thị của hàm số.1. Chiều biến thiên của hàm số.Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  1. Tìm tập xác định 2. Tính đạo hàm y  f   x  . Giải phương trình f   x   0 để tìm các nghiệm xi  i  1,2..., n  . 3. Sắp xếp các nghiệm xi theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà f   x   0 và ngược lại). Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số y  4  x 2Gợi ý giải: Đ/k xác định: 4  x 2  0  x 2  4  2  x  2Tập xác định của hàm số D   2;2 .  4  x   2 x Đạo hàm: y  2 4  x2 4  x2 y  0  x  0 thuộc  2;2Dấu của y cùng dấu với biểu thức  x . Ta có bảng biến thiên 0 2 2 x y + 0  2 y 0 0 Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng  2;0  vànghịch biến rtreen khoảng  0; 2  Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng  a; b  hoặc hàm số gián đoạn tại x0 thì ta cần tính các giới hạn lim y , lim y và lim y , lim y x a xb x x0 x x0 để điền vào bảng biến thiên.Bài tập:Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 1 4 1) y  x5  x3  3 x  1 ; 5 3 4 2) y  x  ; x 1 3) Chứng minh các bất đẳng thức sau:  a) tan x  sin x, 0  x  2 x b) 1  x  1  , x  0 . 2Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y  x 4  8 x 2  2 .Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y  x 3  3 x  1 .Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng  2;0  ,  2;  H/số nghịch biến trên các khoảng  ; 2  ,  0; 2 Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng  1;12. Cực trị của hàm số.Lý thuyết:- Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12.Dạng 1: Tìm m để hàm số y  f  x, m  đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x  x0 .Cách giải:  Tính y  f   x, m   Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x  x0 là y  x0   f   x0 , m   0 . Giải phương trình này tìm được m.  Thử lại (Điều kiện đủ) Với giá trị của m tìm được, ta tính y  x0  . - Nếu y  x0   0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  x0 - Nếu y  x0   0 thì hàm số đạt cực đại tại x  x0 . Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn.  Kết luận. Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x  x0 . x 2  mx  1Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y  đạt cực đại tại x  2 . xmGợi ý giải: 1 Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được y  x  xm Đ/k xác định x  m  0  x  m 1  1  Đạo hàm y   x   1  x  m 2 xm  1y  2   1   2  m 2 Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại x  2 là y  2   0 1 2  0   2  m  1 1 2  2  m 2  m  1  m  1   2  m  1  m  3 Thử lại (đ/k đủ)   1 2 2Ta có y  1    0  2  x  m   x  m 3 3   x  m   2- Với m  1 , ta có y  2    2  0 nên trường hợp này hàm số đạt cực tiểu 3  2  1tại x  2 (không thỏa đề bài). 2- Với m  3 ta có y  2   ...