Chuyên đề sử dụng đạo hàm tính tổng của khai triển nhị thức Newtơn

Chuyên đề sử dụng đạo hàm tính tổng của khai triển nhị thức Newtơn bày trình bày công thức trong nhị thức Newton, các ví dụ và bài tập kèm hướng dẫn giải giúp các em học tốt phần nhị thức Newton để chuẩn bị cho các kì thi ĐH, CĐ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề sử dụng đạo hàm tính tổng của khai triển nhị thức Newtơn Chuyªn ®Ò Sö dông ®¹o hµm tÝnh tæng cña khai triÓn nhÞ thøc newt¬n1. NhËn d¹ng: * Khi trong tæng cã mét thµnh phÇn hÖ sè t¨ng ®Òu hoÆc gi¶m ®Òu th× ta dïng ®¹o hµmcÊp 1. (®¹o hµm 1 lÇn) * Khi trong tæng cã mét thµnh phÇn hÖ sè lµ tÝch cña hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp th× tadïng ®¹o hµm cÊp 2; hoÆc mÊt C0 vµ C1 hoÆc C n vµ C n -1 n n n n2. C¸c bíc gi¶i * Bíc 1: Chon khai triÓn (b + x)n khi mçi sè h¹ng trong tæng cã d¹ng k C k ak-1bn-k n * Bíc 2: Chän ®¹o hµm cÊp 1, cÊp 2. * Bíc 3: Chän x = a ⇒ kÕt qu¶.3. Bµi tËp. Bµi 1. TÝnh tæng: S = 1.20 C1 + 2.21 C 2 + 3.22 C3 + … + n.2n - 1 C n n n n n HD: (1 + x)n = C 0 + xC 1 + x2C 2 + x3C 3 + … + xnC n n n n n n ⇔ n(1 + x)n – 1 = C n + 2x1C n + 3x2C n + … + nxn - 1C n 1 2 3 n Thay x = 2 ta ®îc S = n.3n – 1 Bµi 2. TÝnh tæng: S = n.30 C n + (n - 1)31 C n -1 + (n - 2).32 C n - 2 + … + 1.3n - 1 C1 n n n n HD Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt 2 vÕ, thay x = 3 ta ®îc S = n4n – 1 Bµi 3. Chøng minh r»ng: 1 C1 + 2 C 2 + 3 C3 + … + n C n = n2n – 1 n n n n HD: Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt 2 vÕ, thay x = 1 n −1 1 1 2 2 3 3 n n 3 Bµi 4. Chøng minh r»ng: 0 C n + 1 C n + 2 C n + ... + n −1 C n = n   2 2 2 2 2 1 HD: Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt 2 vÕ, thay x = 2 Bµi 5. T×m n ∈ Z+ tho¶ m·n: 1.20 C1 +1 - 2.21 C 2 +1 + 3.22 C3 +1 - … + (2n + 1).22n C 2n +1 = 2005 2n 2n 2n 2n +1 (§Ò §H + C§ - A - 2005) HD: Khai triÓn (-1 + x)2n + 1, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt hai vÕ, thay x = 2 ta ®îc 2005 = 2n +1 Bµi 6. T×m sè nguyªn d¬ng n tho¶ m·n: 2006 + 1.20 C1 - 2.21 C 2 + 3.22 C3 - … + 2n.22n - 1 C 2n = 0 2n 2n 2n 2n HD: Sö dông khai triÓn (1 + x)2n Bµi 7. TÝnh tæng: S = 1.2 C 2 + 2.3 C3 + 3.4 C 4 + … + (n-1)n C n n n n n HD: Khai triÓn (1 + x) , lÊy ®¹o hµm bËc 2 hai vÕ, thay x = 1, ta ®îc S = n(n-1)2n - 2 n 2 3 4 200 Bµi 8. S = 2.1.30 C 200 - 3.2.31 C 200 + 4.3.32 C 200 - … + 200.199.3198 C 200 HD: Khai triÓn (1 - x)200, lÊy ®¹o hµm bËc 2 hai vÕ, thay x = 3, ta ®îc S = 200.199.2198 1 Bµi 9. TÝnh tæng S = 12C n + 22C 2 + 32C 3 + 42C 4 + … + n2C n n n n n 1 HD: Ta cã: S = 1(1+0)C n + 2(1+1)C 2 + 3(2+1)C 3 + 4(3+1)C 4 + … + n(n-1+1)C n = n n n n 1 = [2.1C 2 + 3.2C 3 + 4.3C 4 + … + n(n-1)C n ] + [1C n + 2C 2 + 3C 3 + 4C 4 + … + nC n n n n n n nnn ] 1 2 3 100 Bµi 10. TÝnh tæng S = 2C 100 + 3C 100 + 4C 100 + … + 101C 100 HD: Khai triÓn x(1 + x)100, tÝnh ®¹o hµm vµ thay x = 1. Bµi 11. TÝnh tæng: S = 31.2.C 1 + 32.3.C 2 + 33.4.C 3 + … + 3n(n + 1)C n n n n n HD: Khai triÓn x(1 + x)n , tÝnh ®¹o hµm 2 vÕ vµ thay x = 3 Bµi 12. TÝnh tæng; S = 1.21C 1 + 2.22C 2 + 3.23C 3 + … + n.2nC n n n n n 1 1 2 2 3 3 n n HD: S = 1.2 C n + 2.2 C n + 3.2 C n + … + n.2 C n = (2 - 1).21C 1 + (3 - 1).22C 2 + (4 - 1).23C 3 + … + (n + 1- 1).2nC n n ...