Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwar

Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế. Nghiên cứu về dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . Tìm hiểu về dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. Trình bày từ dạng hằng đẳng thức thứ hai,. kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới và một số áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một số đề mở rộng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-SchwarDạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwar Trần Thị Minh Ngọc Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp; Mã số: 60 46 Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương Năm bảo vệ: 2011 Abstract: Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế. Nghiên cứu về dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . Tìm hiểu về dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. Trình bày từ dạng hằng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới và một số áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một số đề mở rộng. Keywords: Toán sơ cấp; Hằng đẳng thức; Bất đẳng thứcContent Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học. Ngay từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo. Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế. Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế. Một trong những bất đẳng thức cổ điển quan trọng là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ khi ra đời đến nay đã luôn được các nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu và phát triển. Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các bất đẳng thức khác hoặc trong hình học. Trong luận văn này, tác giả xin trình bày 1một hướng tiếp cận mới của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng hằng đẳngthức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” . Từ các hằng đẳng thức quen thuộc, khikết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta sẽ thu được nhiều dạng bất đẳng thứcmới và lạ. Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức có ứng dụng trong đạisố hoặc lượng giác. Luận văn gồm 2 phần: Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế. Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . Trong phần 2, tác giả đã phân chia thành ba bài. Bài 1: Từ dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. Bài 2: Từ dạng hằng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới và một số áp dụng của nó trong đại số và lượnggiác. Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và mộtsố mở rộng. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên cácvấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếusót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn. 2Phần 1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế.1.1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.Với ai  R, bi  R (i  1, n) , chứng minh rằng 2  n   n 2  n 2    i i     ai   bi  a b  i 1   i 1  i 1  Chứng minh.Cách 1. (Sử dụng đẳng thức Lagrange).Từ đẳng thức 2  n 2  n 2   n    ai   bi     aibi    (aib j  a jbi ) 2  i 1  i 1   i 1  1i j n 2  n   n  n Suy ra   aibi     ai2   bi2   i 1   i 1  i 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 a   ...  n b1 b2 bnCách 2. (Sử dụng tính chất của hàm bậc 2).Xét hàm số n  n  n n f  x   x 2  ai2  2 x   aibi    bi2    ai x  bi  2 i 1  i 1 ...