Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 (Ngày thi thứ nhất)

Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 thông tin đến các bạn lời giải của đồng phương Toán học bao gồm từ bài 1 đến bài 4, củng cố kiến thức cho kỳ thi THPT sắp đến. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 (Ngày thi thứ nhất)Trường đông Toán học - VTH 10/12/2014 ĐÁP ÁN ĐỀ THI Ngày thi thứ nhất Thời gian: 180 phútBài 1 (5 điểm). Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được ?? > 0 với mọi? ∈ N* . Từ công thức truy hồi ta có ?11 11 ?+1 = ?1 + ?2 + . . . + ?? = (?1 + ?2 + . . . + ??−1 ) + ?? = ?? + ?? ,với mọi ? ≥ 2. Từ đó suy ra ?11 11 ?+1 > ?? , suy ra ??+1 > ?? với mọi ? ≥ 2. Như vậy dãy(?? ) là dãy tăng kể từ số hạng thứ hai. Giả sử (?? ) bị chặn trên thì tồn tại giới hạn hữu hạn lim? ?? = ?, với ? là nghiệmcủa phương trình ?11 = ?11 + ?, hay ? = 0.Điều này là vô lý vì (?? ) là dãy các số dương tăng. Do đó (?? ) không bị chặn trên vàlim? ?? = +∞. Từ đẳng thức ?11 11 ?+1 − ?? = ?? ta suy ra (??+1 − ?? )(?10 9 9 10 ?+1 + ??+1 ?? + . . . + ??+1 ?? + ?? ) = ?? .Do đó ?? ?? ??+1 − ?? = < , ?10 ?+1 + ?9?+1 ?? 9 10 + . . . + ??+1 ?? + ?? 11?10 ?vì 0 < ?? < ??+1 với mọi ? ≥ 2. Từ đó suy ra 1 0 < ??+1 − ?? < . 11?9?Vế phải là dãy số tiến tới 0 khi ? tiến ra vô cùng. Vậy lim(??+1 − ?? ) = 0. ?Bài 2 (5 điểm). Quy nạp theo ?. Dễ chứng minh bất đẳng thức cho ? = 0, 1 từ giảthiết ?1 − ?0 ≥ 1 bằng biến đổi đại số. Xét ? ≥ 1. Giả sử bất đẳng thức đúng đến ?. Ta chứng minh cho ? + 1. Khi đó bấtđẳng thức cần chứng minh là tổng của hai bất đẳng thức (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 1 1 1 1 1+ 1+ ··· 1 + ≤ 1+ 1+ ··· 1 + ?0 ?1 − ?0 ?? − ?0 ?0 ?1 ??và (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 1 1 1+ ··· 1 + ?0 ?1 − ?0 ?? − ?0 ??+1 − ?0 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 1 1 ≤ 1+ 1+ ··· 1 + . ?0 ?1 ?? ??+1 1Trường đông Toán học - VTH 10/12/2014 Như vậy chỉ cần chứng minh bất đẳng thức cuối này là đủ. Để chứng minh bấtđẳng thức này, một lần nữa ta sử dụng quy nạp theo ?. Trường hợp ? = 0 được chứngminh dễ dàng do giả thiết ?1 − ?0 ≥ 1. Giả sử bất đẳng thức đúng đến ? với ? ≥ 0.Ta cần chứng minh (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 1 1 1 1+ ··· 1 + 1+ ?0 ?1 − ?0 ?? − ?0 ? −? ? −? (︂ )︂ (︂ ?+1 )︂ 0 (︂ ?+2 )︂0(︂ )︂ 1 1 1 1 1 ≤ 1+ 1+ ··· 1 + 1+ . ?0 ?1 ?? ??+1 ??+1Bất đẳng thức này được suy ra từ giả thiết quy nạp cho ? và bất đẳng thức sau (︂ )︂ (︂ )︂ 1 ??+1 − ?0 1 ??+1 1+ ≤ 1+ . ??+1 − ?0 ??+2 − ?0 ??+1 ??+2Bất đẳng thức cuối dễ dàng được suy ra từ giả thiết ??+2 − ??+1 ≥ 1 bằng biến đổiđại số đơn giản.Bài 3 (5 điểm). Ta sẽ chứng minh rằng có một song ánh giữa tập các bảng cỡ (? −1) × (? − 1) vớ ...