Đề thi chọn đội tuyể Olympic Toán học sinh viên năm 2010 - Môn- Đại số

Đề thi chọn đội tuyể Olympic Toán học sinh viên đây sẽ là tài liệu tham khảo giúp ích cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi giữa kì và cuối kì.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyể Olympic Toán học sinh viên năm 2010 - Môn- Đại số Đ THI CH N Đ I TUY N OLYMPIC TOÁN H C SINH VIÊN NĂM 2010 M¤N: §¹I Sè (Th i gian làm bài: 120 phút) 1 + x1 1 1 1 1 1 1 + x2 1  Câu 1. Tính đ nh th c c a ma tr n: 1 1 1 1 + x3   1 1 1 1 + x4 Trong đó x1 , x 2 , x 3 , x 4 là các nghi m c a đa th c f(x) = x 4 − 6x 2 + 1  5 11   x 14 Câu2. Cho 2 ma tr n A,B sao cho AB =   , BA = 14 y  . 11 25   Hãy tìm x,y và A,B.Câu 3. Cho ma tr n 3 2 0  A =  2 4 −2     0 −2 5    Tim giá tr riêng c a ma tr n A 5 .Câu 4. Cho a, b ∈ R .Tìm các đa th c P(x) tho mãn đi u ki n xP(x − a) = (x − b)P(x) ∀x ∈ RCâu 5. Cho B là ma tr n th c ,vuông c p n có h ng b ng 1 .Ch ng minh r ng t n t i duynh t s th c k sao cho B 2 = kB .Câu 6. Cho A là ma tr n c p nx(n+1).A’ là ma tr n chuy n v c a A.B là ma tr n ph h p c a ma tr n A’A và B ≠ 0 .Xác đ nh h ng c a ma tr n B.Câu 7. Cho A là ma tr n vuông c p n có r(A) = k.Tìm r(A*).Câu 8. Tìm ma tr n vuông X c p n sao cho AX = XA ∀A vuông c p n.________________________________________Chú ý: Sinh viên không đư c dùng tài li u Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt NamTr−êng §H Kinh tÕ quèc d©n §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ========= ========== §Ò thi chän ®éi tuyÓn olympic to¸n häc sinh viªn n¨m 2010 M«n : Gi¶i tÝch (Thêi gian lµm bµi: 120 phót) n Câu 1. Cho { a n } là dãy s xác đ nh b i a 1 > 0 và a n +1 = a n + , n ≥ 1. an a  Ch ng minh r ng dãy  n  h i t và tìm gi i h n c a nó. n Câu 2.Cho các hàm f,g không là hàm h ng trên kho ng (a,b), f(x) + g(x) ≠ 0 và f(x).g’(x) – f ’(x)g(x) = 0 ∀x ∈ (a, b) .Ch ng minh r ng g(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a, b) và f (x) là h ng s trên (a,b). g(x) Câu 3. Cho hàm f(x) liên t c trên [0,a] ,kh vi trên (0,a) sao cho f(a) = 0.Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (0, a) đ cf (c) = f(c)(c − 1) . Câu 4. Gi s f(x) là hàm s có đ o hàm c p 2 liên t c trên R và tho mãn đi u ki n f(0) = f(1) = a .Ch ng minh r ng max{f(x)} ≥ 8(a-b) x∈[0,1] v i b = min {f(x)} x∈[0,1] 1 Câu 5. Cho f : R → R là hàm liên t c và ∫ tf(t)dt = 0 .Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (0,1) sao cho 0 1 cf(c) = 2010∫ f(t)dt 0 Câu 6. Tìm t t c các hàm s f : R → R tho mãn f(f(x-y)) = f(x)f(y)- f(x) + f(y) – xy ∀x, y ∈ R ---------------------------------------------- Thí sinh không đư c s d ng tài li u Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt NamTr−êng §H Kinh tÕ quèc d©n §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ========= ========== §Ò thi chän ®éi tuyÓn olympic to¸n häc sinh viªn n¨m 2010 M«n : Gi¶i tÝch (Thêi gian lµm bµi: 120 phót) ...