Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2011-2012 môn Toán - Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh

Bạn đang gặp khó khăn trước kì thi học sinh giỏi và bạn không biết làm sao để đạt được điểm số như mong muốn. Mời các bạn cùng tham khảo "Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2011-2012 môn Toán - Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh" sẽ giúp các bạn nhận ra các cách giải bài thi. Chúc các bạn làm bài thi tốt.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2011-2012 môn Toán - Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh www.VNMATH.comSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎITHÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 19 - 10 - 2011ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút.Bài 1: (4 điểm)Giải hệ phương trình sau : ⎧ x y +1 = (y + 1) x ⎪ ⎨ 2x 2 − 9x + 6 ⎪ −4x + 18x − 20 + 2 = y +1 2 ⎩ 2x − 9x + 8Bài 2: (4 điểm) Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểmM. Cát tuyến qua B cắt ( O1 ) và ( O2 ) lần lượt tại C và D (B nằm giữa C và D). Đườngthẳng MC cắt ( O1 ) tại P khác C. Đường thẳng MD cắt ( O2 ) tại Q khác D. Gọi O là tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm củaQB và AD. Chứng minh rằng MO vuông góc với EF .Bài 3: (4 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ a (b + 1) b(c + 1) c(a + 1) 1 + abcBài 4: (4 điểm) Cho đa thức P(x) = x 2012 − mx 2010 + m (m ≠ 0) . Giả sử P( x) có đủ 2012 nghiệmthực. Chứng minh rằng trong các nghiệm của P( x) có ít nhất một nghiệm x 0 thoảmãn x 0 ≤ 2 .Bài 5: (4 điểm) Cho các số nguyên x, y. Biết rằng: x2 – 2xy + y2 – 5x + 7y và x2 – 3xy + 2 y2 + x – y đều chia hết cho 17. Chứng minh rằng: xy – 12x + 15y chia hết cho 17. HẾT www.VNMATH.comSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎITHÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011–2012 MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhì: 20 – 10 – 2011ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút.Bài 1: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn: f ( f ( x ) + y ) = f ( x 2 − y ) + 4yf ( x ) với ∀x, y ∈ R .Bài 2: (4 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: ab 2 bc 2 ca 2 a+b+c + 2 + 2 ≤ a + 2b + c b + 2c + a 2 2 2 2 2 c + 2a + b 2 2 4Bài 3: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên các cạnh AC và AB lần lượt lấy các điểm P và Q. Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm của BP, CQ và PQ. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ cắt PQ tại R. Chứng minh rằng OR vuông góc với PQ.Bài 4: (4 điểm) ⎧ 4 ⎪⎪u1 = 5 Cho dãy số (un) định bởi ⎨ ⎪u n +1 = u 4n ∀n ∈ N* ⎪⎩ u 4n − 8u 2n + 8 Hãy lập công thức tính số hạng tổng quát un theo n. Bài 5: (4 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho: (ab)2 – 4(a + b) là bình phương của một số nguyên. HẾT