Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những nội dung chính được đề cập trong đề thi để từ đó có kế hoạch học tập và ôn thi một cách hiệu quả hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Thanh HóaSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HOÁKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNHNăm học 2010- 2011Đề chính thứcMôn thi: ToánLớp: 9 THCSThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 24/03/2011(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).Số báo danhCâu I. (5,0 điểm).1) Cho phương trình: x2  2m x  2m  1  0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm2x x  3khi m thay đổi.x1 , x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2 2 1 2x1  x2  2(1  x1 x2 )1 1 12) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn   . Chứng minh rằng A  a 2  b2  c 2a b clà số hữu tỉ.(b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:B111là số hữu tỉ.22( x  y ) ( y  z ) ( z  x) 222 x   x  10   .9 x 1   x 1  21 1 x  x  1    4yy2) Giải hệ phương trình: 2 x 3  x  x  1  4.y 2 y y3Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB,sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.Tính BPE.Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O  AB ). P là điểm di độngtrên đoạn thẳng AB ( P  A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểmP tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đườngtròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N  P ).1) Chứng minh rằng ANP  BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.Câu V. (4,0 điểm).1) Cho a1 , a2 ,...., a45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1  a2  ....  a45  130. Đặtd j  a j 1  a j , ( j  1,2,...,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ítnhất 10 lần.Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn:a 2  b2  b2  c2  c 2  a 2  2011.a2b2c21 2011Chứng minh rằng:.bc ca ab 22............................................................. HẾT ........................................................Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.SỞ GD & ĐT THANH HOÁHƯỚNG DẪN CHẤMĐỀ CHÍNH THỨCKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH(Gồm có 3 trang)CâuCâu I6đNĂM HỌC 2010 - 2011MÔN THI: TOÁNLỚP: 9 THCSNgày thi: 24 - 3 - 2011ÝHướng dẫn chấm21) Ta có   (m  1)  0, m nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.2,5đ4m  1Theo định lí viet, ta có x1  x2  2m, x1x2  2m  1 , suy ra P 4m 2  2(2m  1)21 1 1. Max P  1, khi m  .24m  222a) Từ giả thiết suy ra 2ab  2bc  2ca  01,5đSuy ra A  (a  b  c)2  a  b  c là số hữu tỉ2b)1111 1 11,0đ Đặt a  x  y , b  y  z , c  x  z suy ra a  b  c .Áp dụng câu 2a) suy ra B 111là số hữu tỉ.22( x  y ) ( y  z ) ( z  x) 2Câu II 1) Đk: x  1. Phương trình tương đương với226đ2,5đ 2x2 x x2102 x 2 10 x2  0. 2 2x2  1 9x1x19 x 1 x 1 1,01,00,51,00,50,51,02 x21052, ta được phương trình t 2  t   0  t  hoặc t 293x 1322x55 (vô nghiệm)Với t  , ta được 2x 1 332 x2221  suy ra x   .Với t   , ta được 2x 13320,51 2 1x  y2  x  y  4Đk: y  0. Hệ tương đương với  x3  1  x  x  1   4.y3 y y122u  x  yu  2u  u  2v  4u  4u  4  0 2Đặt ta được hệ  3u  2uv  4u  u  4  2vv  1.v  x ,y0,5Đặt t 2)2,5đĐiểm0,50,50,51,0CâuIII2đCâuIV4,0đ1x2yu  2x  1Với ta được (thoả mãn điều kiện)v1,xy1. 1 yKẻ EF  AC tại F, DG  BC tại G.Theo giả thiết S( ADPE )  S( BPC ) S( ACE )  S( BCD ) .1,00,5Mà AC  BC  EF  DG và A  CSuy ra AEF  CDG  AE  CG.0,5Do đó AEC  CDB(c  g  c)  DBC  ECA0,50,5 BPE  PBC  PCB  PCD  PCB  6001) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến3,0đ chung của (O) với (C), (D) tại A, Btương ứng.1,0Suy ra ANP  QAP  QBP  BNP.Ta cóN H OANB  ANP  BNP  QAP  QBP 180  AQB , suy ra NAQB nội tiếp (1).Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, Bcùng nằm trên một đường tròn.DC0A0,5PB0,5ESuy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trênmột đường tròn.Ta có OCN  2OAN  2OBN  ODN ,suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằmtrên một đường tròn.Câu V2đ0,5Q0,52) Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua1,0đ các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cốđịnh.1)d1  d2  ...  d44  (a2  a1 )  (a3  a2 )  ...  (a45  a44 )  a45  a1  130  1  129. (1)2,0 Nếu mỗi hiệu d ( j  1,2,....,44) xuất hiện không quá 10 lần thìjđd1  d2  ...  d44  9(1  2  3  4)  8.5  130 mâu thuẫn với (1).Vậy phải có ít nhất một hiêụ d j ( j  1,... ...