Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Nghệ An

Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức, kĩ năng cơ bản và biết cách vận dụng giải các bài tập một cách nhanh nhất và chính xác. Hãy tham khảo Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Nghệ An.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Nghệ AnSỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠONGHỆ ANKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCSNĂM HỌC 2010 - 2011ĐỀ CHÍNH THỨCMôn thi: TOÁN - BẢNG BThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 (5,0 điểm).a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2  n  2 không chia hết cho 3.b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2  17 là một số chính phương.Câu 2 (5,0 điểm)a) Giải phương trình: x2  4x+5 = 2 2x+32x+y = x 2b) Giải hệ phương trình: 22y+x = yCâu 3 (3,0 điểm).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 4x+3x2  1Câu 4 (4,5 điểm)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đườngcao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = BC 2b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K (O).Câu 5 (2,5 điểm).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển độngtrên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳngvuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với ICtại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi quamột điểm cố định.- - - Hết - - -SỞ GD&ĐT NGHỆ ANKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCSNĂM HỌC 2010 - 2011ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨCMôn: TOÁN - Bảng B------------------------------------------Nội dungCâu:1.*) Nếu n 3  n2  n 3nên n2  n  2  3(1)a,2*) Nếu n  3  n  2 3(2,5) n2  n  2  3 (2)Từ (1) và (2)  n  Z thì n2  n  2  3Đặt m2  n2  17(m  N) m2  n2  17  (m  n)(m  n)  17  1.17 =17.1b, Do m + n > m - n(2,5)m  n  17m  9m  n  1n  8Vậy với n = 8 ta có n2  17  64  17  81  922.Giải phương trình x2  4x+5=2 2x+3(1)322(1)  x  4x+5-2 2x+3  0Điều kiện: 2x+3  0  x  - x2  2x+1+2x+3-2 2x+3  1  0a,(2.5) (x  1)2  ( 2x+3  1)2  0x  1  0 2x+3  1  0x  12x+3=1 x  1 thỏa mãn điều kiệnGiải hệ phương trìnhb,(2.5)2x+y=x 222y+x=y(1)(2)Trừ từng vế 2 phương trình ta có: x2  y2  x  y (x  y)(x  y  1)  0x  yx  yx  y  1  0x  1  yTa có:x  yx  yx(x  3)  0 x  0 hoặc x = 3*) Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)x  1  yx  1  yx  1  y(*) 2222x+y=x22yy(1y)yy102Vì phương trình y  y  1  0 vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm*) Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)3.4x+3x2  14x+3x2  4x+4Ta có: A  2 1 x 1x2  1(x  2)2A  1  2 1x 1Dấu = xảy ra  x  2  0  x  2Vậy Amin  1 khi x = -2Tìmgiá trị nhỏ nhất của A 4.a,(2,5)AEHFBOICKSGọi I là giao điểm của AH và BC  AI  BCTa có: BHI BCE (g, g)BH BI BH.BE  BC.BI (1)BC BETa có: CHISCBF (g, g)CH CI CH.CF  BC.CI (2)CB CFTừ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2b,Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra HCB  KCB(2,0) Mà FAI  HCI (do tứ giác AFIC nội tiếp) FAI  BCK hay BAK  BCK tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O)  K  (O)5.+ Khi BAC  900  BIC  900 . F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. EF đi qua điểm O cố định.BFOKIAEC+ Khi BAC < 900  BIC > 900.Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. EIF  EAF (cùng bù BIC )EKF  EIF (Do I và K đối xứng qua EF) EKF  EAF AKFE nội tiếp KAB  KEF (cung chắn KF ) (1)IEF  KEF (Do K và I đối xứng qua EF) (2)IEF  BIK (cùng phụ KIE ) (3)Từ (1), (2), (3)  KAB  BIK AKBI là tứ giác nội tiếp K  (O)Mà EF là đường trung trực của KI  E, O, F thẳng hàng.+ Khi BAC > 900  BIC < 900 chứng minh tương tự.Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định.