Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hòa Bình

Cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hòa Bình tư liệu này sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ thi sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hòa BìnhKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPTNĂM HỌC 2017 – 2018UBND TỈNH HÒA BÌNHSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOMôn thi: TOÁNNgày thi: 15/12/2017.Thời gian làm bài 180 phút.ĐỀ THI CHÍNH THỨC(Đề thi gồm có 01trang)Họ tên thí sinh:…..………………………………………………Số báo danh:…………............ Phòng thi:………………………Câu 1: (3,0 điểm):a) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số f ( x) = 1 + 3x2 - 2 x3 .b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y =2 x - mx 2 + 1(x - 1)2có đường tiệm cận đứng.Câu 2 (5,0 điểm):a) Tính tổng các nghiệm x    ;   của phương trình:2(cosx  3 sin x) cos x  cos x  3sinx  1.(b) Giải phương trình 3 + 5xx) + (3 - 5 )- 7.2 x = 0.332 x  y  3 x  6 x  3 y  4  0( x, y   ).2( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x  5 x  12 yc) Giải hệ phương trình Câu 3 (4,0 điểm):Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a 2 , BC  a vàSA = SB = SC = SD = 2 a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm B trên AC và H là hìnhchiếu vuông góc của K trên SA .a) Tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a.b) Tính diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành khi quay tam giác ADC quanh ADtheo a.c) Tính cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( BKH ) .Câu 4 (4,0 điểm):æ 2 2 ö÷nççç x - ÷÷ , x ¹ 0xøè7a) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của, biết rằng n là số323nguyên dương thỏa mãn 4Cn+1 + 2Cn = An .b) Cho đa giác lồi có 14 đỉnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giácđã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không cócạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.Câu 5 (2,0 điểm):Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm K (-2; -5) và đường tròn (C) có phươngtrình ( x - 1) + ( y - 1) = 10 . Đường tròn (C 2 ) tâm K cắt đường tròn (C) tại hai điểm A , B sao22cho dây cung AB = 2 5 . Viết phương trình đường thẳng AB .Câu 6 (2,0 điểm):2()a) Cho a và b là hai số thực dương. Chứng minh rằng (a + b) a 2 + b2 ³ 8 a 2 b 2 .b) Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn x > y > z > 0 và x + y + z = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =12( x - y)+12( y - z)+……………… Hết …………..82.+xz y 3UBND TỈNH HÒA BÌNHSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHƯỚNG DẪN CHẤM(Đáp án gồm có 03trang)CâuKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPTNĂM HỌC 2017 – 2018Môn thi: TOÁN.Ngày thi: 15/12/2017Nội dungĐiểmTập xác định của hàm số D =  . f ʹ ( x) = 6 x(1 - x)1a(2đ)0,5f ʹ ( x) = 0 khi x = 0, x = 11,0Xét dấu f ʹ ( x) .Kết luận đồ thị hàm số có một điểm cực đại có tọa độ (1; 2) và một cực tiểu (0;1) .0,5Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi có một trong các giớihạn: lim+ y = ¥ hoặc lim- y = ¥x11b(1đ)x1æöTa có: lim çç2 x - mx 2 + 1÷÷ = 2 - m + 1 với m ³ -1 .øx1 èDo đó với m < -1 thì hàm số không có giới hạn khi x  1 nên đồ thị hàm số không cótiệm cận đứng.Với m ³ -1 và m ¹ 3 thì2æölim çç2 x - mx 2 + 1÷÷ = 2 - m + 1 khác 0 và lim ( x - 1) = 0øx1x1 è0,5Khi đó lim y = ¥ nên đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.x1Khi m = 3 , ta có lim y = limx1x12 x - 3x2 + 12(x - 1)= limx2 - 1x1 æ2öç2 x + 3 x 2 + 1÷÷( x - 1)çèø0,5x +1= ¥æöx1ç2 x + 3x 2 + 1÷÷( x - 1)çèøNên đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.Tóm lại, giá trị m cần tìm là m ³ -1= limPt đã cho  cos2x  3 sin 2 x  cosx  3 sin xk 2 cos  2 x    cos   x   x , k 3332a(1,5đ)22Vì x    ;   nên x1  0; x2 thỏa mãn; x3 33Vậy tổng các nghiệm x    ;   của phuơng trình đã cho là S = 0.2b(1,5đ)2c(2đ)æ 3 + 5 ö÷x æ 3 - 5 ö÷x÷÷ + çç÷÷ = 7 . ĐặtĐưa PT về dạng ççççèç 2 ÷ø÷ èç 2 ø÷÷æ 3 + 5 ö÷xçç÷çç 2 ÷÷÷ = t với t > 0 .èø217  3 5 æç 3  5 ö÷÷2Ta có PT t + = 7  t - 7 t + 1 = 0  t == çç÷çè 2 ÷ø÷t2Từ đó suy ra PT có 2 nghiệm x = 2 .ĐK: y  1Phương trình (1) tương đương :  x  1  3  x  1  y 3  3 y  y  x  130,50,50,50,50,50,50,51,0(x + 1)  x  1x + 2 + ( x + 6) x + 7 = x 2 + 7 x + 12x  2  2   x  6x  7  3  x2  2x  8x6 x 1  x  2  x  4  0x7 3 x22x  2 x 1x6  x  4  0  *x7 3 x  2  2Chứng minh phương trình (*) vô nghiệmx2  x6x61 x2 0 x  22   x7 32 x22 x22Kết luận hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;30,5S0,5H3a(2đ)AODBKCGọi O = AC Ç BD . Ta có SO ^ ( ABCD) .OA =3b(1đ)AC a 33a 2 13a 2a 13== SO =. SO 2 = SA 2 - OA2 = 4a2 .224421 a 13a3 . 26VS. ABCD = ..a 2.a =3 262S xq   .DC. AC   a 6.Chỉ ra được K là trọng tâm tam giác BCD , KA = 2 KC .Chứng minh được SA ^ ( BKH ) ..Do đó góc giữa SB và ( BKH ) là góc SBH3c(1đ)a 62 SO. AC a 39=, KH =33 ...