Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hà Nội

Hi vọng Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hà Nội sẽ cung cấp những kiến thức bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập nâng cao kiến thức trước khi bước vào kì thi của mình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hà NộiDeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘIĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁNTRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNGLỚP 12 – Năm học 2017-2018Thời gian làm bài: 180 phút.(Đề thi gồm 01 trang)Họ tên thí sinh ….…………................................ Số báo danh …………Câu 1 (5.0 điểm)1. Cho hàm số: y x 12( x  1)(C)Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọngtâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.2. Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x – 2 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Oxtại một điểm.Câu 2 (4.0 điểm) 2  x  2  x  6  6  y1.Giải hệ phương trình sau :  x  2  y  2 y  1. x 2  4 x  5( x  R ).2.Giải phương trình sau:x 2  3 x  1 Câu 3 (3.0 điểm)Cho3 4 2x  x 13( x  R ).x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 5  x 2  y 2  z 2   9  xy  2 yz  zx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x12y  z  x  y  z 32Câu 4 (3.0 điểm)un 1  3un  n 2  1, n  1, n  N.u1  21.Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) xác định bởi : 2. Tính u1 + u2+…. + u2017.Câu 5 (5.0 điểm)1. Cho tam giác ABC vuông tại A, D là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho CD = CA. M là một điểm  1 ACD , N là giao điểm của MD và đường cao AH của tam giác ABC. Chứngtrên cạnh AB sao cho BDM2minh DM = DN.2. Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=a, góc BAC = 1200. Điểm S thay đổi trong không gian nhưng luônnằm về 1 phía của mặt phẳng (ABC) và AS= a, góc SAB= 600. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)a) Chứng minh rằng H thuộc đường thẳng cố định.b) Chứng minh rằng khi độ dài SH lớn nhất thì hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau và khi đótính độ dài SC.…………….Hết………………..DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!Đáp án bài thi chọn HSG Toán 12 (2017-2018)Câu 1( 5.0 điểm):Câu1 .1Nội dungx0  1)  (C ) là điểm cần tìm (x0  -1)2( x0  1)Gọi  tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình.x 1x 11 : y  f ( x0 )( x  x0 )  0( x  x0 )  0y22( x0  1)2( x0  1) x0  1ĐiểmGọi M( x0 ;x02  2 x0  1x 2  2 x0  1;0)B =   oy  B(0; 0).22( x0  1) 2Khi đó  tạo với hai trục tọa độ  OAB có trọng tâm là: x 2  2 x0  1 x02  2 x0  1 G(   0;.66( x0  1) 2 1.0đGọi A =   ox  A( Do G  đường thẳng:4x + y = 0  4. 41 x0  1220(vì A, B  O nên x02  2 x0  1  0 )11 x0  1  2 x0   2x 1   1x   3 0 02211 3Với x0    M ( ;  ) ;22 21.21.0đ33 5với x0    M ( ; ) .22 2Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục Oxx 3  3x  2x 3  3  m  1 x  2  0 (1)  3m (2)x( vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) )Xét hàm số f  x  x 3  3x  2, x   0 .x2x 3  2; f (x)  0  x  1x2Bảng biến thiên:1xf x00.5đ0.5đf  x  f  x 1.0đx  2 x0  1 x  2 x0  1066( x0  1)2200++0.5đ0DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại một điểm duy nhất  pt (2) có nghiệm duy nhất.Từ bảng biến thiên kết luận m  0 .0.5đCâu 2( 4.0 điểm):Câu1( 2.5đ)Nội dungĐiểmĐiều kiện : y  2; x  6 x  2y2 . x  2  1 x  2y2.y 1 x  2  12 x  22y2Từ (2) : y 1y  1. x 2  4 x  520.5đ y  1  1  .  x  2   1.2y 1 x  22Xét hàm số f (t ) t 1tt  0 11f (t )   1     0 . Chứng tỏt122t 1 t0.5đhàm số nghịch biến22Để f ( x  2  )  f  y  1 chỉ xảy ra khi : y  1   x  2  . Thay vào (1) ta đượcphương trình :1   x  2 2t  x  2  0t  x  2  0 2  x  2 x  6  7  0   22t  2t t  8  72t t  8  7  t0.5đ0  t  x  2  70  t  x  2  70  t  x  2  74323222 2t  4t  46t  49  0  t  1  t  3t  49t  49   04t  t  8    7  t +/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy ra x=3 và y+1=1 hay y=0 . Vậy nghiệm hệ là(x;y)=(3;0)+/ Trường hợp :2f (t )  t 3  3t 2  49t  49  0  f (t )  3t 2  6t  49  3  t  1  52  0t  0; 7 Hàm số nghịch biến và f(0)= -49 ...