Đề thi cuối học kỳ I năm học 2014-2015 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM

Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm và 3 bài tập tự luận bao quát toàn bộ kiến thức môn học. Bài tập trong đề thi này sẽ giúp các các bạn sinh viên biết được những kiến thức mình còn yếu để có sự đầu tư phù hợp nhằm nâng cao kiến thức về khía cạnh đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi cuối học kỳ I năm học 2014-2015 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCMTröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCMÑEÀ THI MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØKHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛNPHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACEBOÄ MOÂN TOAÙNMaõ moân hoïc: 1001060Thôøi gian : 75 phuùt(27/12/2014)Ñeà thi goàm 3 trangÑöôïc pheùp söû duïng taøi lieäuMaõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0001PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)(choïn 1 trong caùc caâu: A, B, C, D )Câu 1 Tập hợp nghiệm của phương trình z 3 = 8e 6−ì 6π là{}{A) 2e 2 , e 2 ( −1 + i 3 ), e 2 (−1 − i 3 )B) ∅Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?}C) 2e 2 , e 2 (1 + i 3 )iϕ1}zA) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z.C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 e{D) 2e 2 ,2e 2 (1 + i 3 ),2e 2 (1 − i 3 )B) Phöông trình e = 2015 .e −πi voâ nghieäm., z2 = r2 eiϕ2r =r⎧12. Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ ⎨ϕ 2 = ϕ1 ± 2kπ⎩D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.Caâu 3 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maëtphaúng phöùc.B) Haøm f(z) = 6 z + e 5 z coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúngphöùc.C)∫6 z + e 5 z dzz + 4i = 2(z − 1)2D)= 2π i (6 + 5e 5 )∫z − 2i = 66 z + e 5 z dz(z − 1)2= 2π i (6 + 5e 5 )Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai?A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏađiều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).B) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũngliên tục tại (xo,yo).D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.Caâu 5 AÛnh cuûa ñöôøng thaúng y =A) ñöôøng thaúng u = 0.B) tia argw = -π/2.π8qua pheùp bieán hình w = e − 4 z = u +iv laøC) tia argw = π/2.D) ñöôøng thaúng v = 0.Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?A) Neáu khai trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïngf (z ) =+∞∑ an (z − a)nn = −∞thì Re s[f (z), a] = a −1-1-1B) Haøm f(z)=(z+i) cos=z+iC) f(z) =D)∑(−1) nn=01111⎡⎤neân thaëng dö Re s ⎢( z + i ) cos, −i ⎥ = − .2 n −1(2n)! ( z + i )z+i ⎦2⎣22324z 3 e z = z 3 + 2z 2 + 2z +++ ... vaø3!23∫ z e z dz =z −1 = 3∞z .4!z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).22⎡⎤ 4πz 3 e z dz = 2πi Re s ⎢ z 3 e z ,0⎥ =∫3z −1 = 3⎣⎦Caâu 7 Cho phöông trình vi phaân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 27.Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-2Y =e −πp+ 27 (2)p −1e −πp27+(3)( p − 1)( p − 2) p − 2⎛ 11 ⎞27Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = e −πp ⎜⎜ p − 2 − p −1⎟ + p − 2⎟⎝⎠2 ( t −π )t −πBieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = (e− e )u (t − π ) + 27e 2tGiaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.D) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.Câu 8 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u = 3x 2 − 3 y 2 − 8 y , v = 6 xy + 8 x . Khẳng định nào sauđây đúng?A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp.D) v điều hòa, u không điều hòaB) u điều hòa, v không điều hòa.Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?⎡t⎤ F ( p)A) L[f(t-a)u(t-a)] = e F(p)B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =p⎣0⎦T1− ptC) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =∫ e f (t )dt1 − − Tp 0-ape⎧ 0⎩sin 4tD) Neáu f (t ) = ⎨khi 0 < t < πvaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =khi π < t < 2π11 − e− 2πp2π− pt sin 4tdt∫e0Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)-1 ⎡⎤4C) L ⎢= 2e −2t *sin 2t2( p + 2)( p + 4) ⎥⎣⎦B) L [2 + t 2 + sh3t ] =⎡22p+ 3 + 2p pp −9⎤p−22tD) L ⎣ p 2 − 4 p + 40 ⎥ = e cos 6t⎦-1 ⎢PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaâny’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , vôùi y(0) = 0, y’(0) = 0Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân-2-⎧ x+3 y = 2 sin t, vôùi ñieàu kieän x(0) = 0,⎨t⎩ x + y +2 y = ey(0) = 0Caâu 13 (2 ñieåm)ta) Tìm aûnh cuûa haøm goác: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu0tb) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du0------------------------- ...