Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM

Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm và 3 bài tập tự luận bao quát toàn bộ kiến thức môn học. Bài tập trong đề thi này sẽ giúp các các bạn sinh viên biết được những kiến thức mình còn yếu để có sự đầu tư phù hợp nhằm nâng cao kiến thức về khía cạnh đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCMTröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCMÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACEBOÄ MOÂN TOAÙNMaõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016)Ñeà thi goàm 3 trangÑöôïc pheùp söû duïng taøi lieäuMaõ ñeà: 0001-0014-0001-2016-314116-0001 (Noäp laïi ñeà naøy)PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)Caâu 1 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?zA) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z.C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 eiϕ1B) Phöông trình e = 2016 .e −3πi voâ nghieäm., z2 = r2 eiϕ2⎧r =r12. Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ ⎨⎩ϕ 2 = ϕ1 ± 2kπD) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.1 + 3i 5− i + e 3 z laø:1 − 2i3xC) u ( x, y ) = e cos 3 y , v( x, y ) = e 3 x sin 3 yCâu 2 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa haøm phöùc f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) =A) u ( x, y ) = −1 + e 3 x cos 3 y , v( x, y ) = e 3 x sin 3 yB) u ( x, y) = 1 + e 3 x cos 3 y , v( x, y ) = e 3 x sin 3 yD) u ( x, y ) = −1 + e 3 x cos 3 y , v( x, y ) = −e 3 x sin 3 yCâu 3 Khẳng định nào sau đây sai?A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Riemann trên miền D thìf(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D.B) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không khaû vi trên mieàn D thì caùc hàm u(x,y) vaø v(x,y)không khaû vi trên miền D.D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khaûvi vaø thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo).Câu 4 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u ( x, y ) = 3x 2 − 3 y 2 − 9 y + 5 , v = 6 xy + 9 x + 5 . Khẳngđịnh nào sau đây đúng?A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp.D) v điều hòa, u không điều hòaB) u điều hòa, v không điều hòa.Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maëtphaúng phöùc.B) Haøm f(z) = 8 z + e 5 z coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúngphöùc.C)8z + e5z∫ (z − 1)2 dz = 2π i(8 + 5ez + 6i5D))=2∫ (z − 1)2 dz = 2π i(8 + 5ez − 2i=6Câu 6 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình w =A) ñöôøng thẳng u = v.C) ñöôøng thẳng u = -v.Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?8z + e 5z1= u +iv là3zB) nöûa ñöôøng thẳng u = v, vôùi v > 0.D) nöûa ñöôøng thẳng u = -v, vôùi v < 0.-1-5)A) Neáu khai trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïngf (z ) =+∞thì Re s[f (z), a] = a −1∑ an (z − a)nn = −∞22324++ ... vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).3! z .4!2⎡ 3 2 ⎤ 4π3 zC) ∫ z e dz = = 2πi Re s ⎢ z e z ,0⎥ =3z − 2 i =5⎣⎦∞11111⎡⎤= ∑ (−1) nneân thaëng dö Re s ⎢( z + i) cosD) Haøm f(z)=(z+i) cos,−i ⎥ = − .2 n −1(2n)! ( z + i )2z+i ⎦z+i⎣n=0B) f(z) = z 3 e z = z 3 + 2 z 2 + 2 z +Caâu 8 Cho phöông trình vi phaân: y’+6y = u(t-5) e 2 (t −5) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 14.Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=pY+6Y =e −5 p+14p−2e −5 p14+( p − 2)( p + 6)p+6♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.(2)(3)141 −5 p ⎛ 11 ⎞e ⎜⎜ p − 2 − p + 6⎟+ p +6⎟8⎝⎠1 2 ( t −5)(e − e −6(t −5 )u (t − 5) +14 e −6t8C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?⎡t⎤ F ( p)A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =p⎣0⎦⎡ t 5u⎤p−5⎢ ∫ e ch6udu ⎥ =2B) L⎣0⎦ p ( p − 5) − 36(C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =11 − e− Tpkhi 0 < t < π⎧0vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩sin 9t khi π < t < 2πD) Neáu f (t ) = ⎨T∫e)− pt f (t ) dt011 − e−πp2π− pt sin 9tdt∫eπtCaâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2 e −7 t +10 ∫ y (u ) cos 3(t − u ) du ta laøm nhö sau:0♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = 2 e −7 t +10y(t)*cos3t♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïcL [y(t)] = L [ 2e −7 t ] +10 L [y(t)*cos3t]♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïcY=♦p22+ 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y =+10Y 2p+7p+7p +92( p 2 + 9)Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: ...