Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

Để bước vào kì thi học sinh giỏi được thuận lợi hơn, mời các bạn lớp 11 tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang". Thông qua giải đề thi các bạn sẽ được làm quen với các dạng đề và các cách giải đề khác nhau, tích lũy thêm kiến thức và biết cách vận dụng lý thuyết, công thức vào đúng bài.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc GiangSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOBẮC GIANGĐỀ THI CHÍNH THỨCĐề thi có 01 trangĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNHNĂM HỌC 2012-2013MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 CHUYÊNNgày thi:31 /03/2013Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đềCâu 1. (4 điểm)1) Giải phương trìnhsin 2 x cos 2 x + 4sin x cos 2 x − 3sin 2 x − cos2 x − 2 cos x + 3 = 0,(x ∈ ℝ ).2) Giải phương trìnhx − 1 + x + 7 + x 2 − 3 x − 2 = 0,(x ∈ ℝ ).Câu 2. (4 điểm)y+ y2 = 0x +21+ x + x1) Giải hệ phương trình(x, y ∈ ℝ ). 2 x + 2 x 2 + 1 + y 2 = 3, y21232) Cho n là số nguyên dương thoả mãn: 1Cn + 2Cn + 3Cn + ... + nCnn = 128n.Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức củaf ( x) = 2(1 + x) n + x(2 + x) n +1 .Câu 3. (4 điểm)1) Cho dãy số (un) được xác định như sau x1 = 112013  xn +1 = 2  xn + x  , n ≥ 1.n Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim xn .n →+∞2) Tính giới hạnlimx →04 + x.3 1 + 2 x − 2.xCâu 4. (6 điểm)1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Đường thẳng chứa cạnh BD cóphương trình: 2x + y – 1 = 0. Điểm M(6;-1) và điểm N(2;1) lần lượt nằm trên các đường thẳng (AB),(AD). Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết B có hoành độ dương.2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc vớimặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Gọi N là trung điểm BC.a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN.b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DN.Câu 5. (2 điểm)Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằngsin A + sin B + sin C≤ 1.ABCcos + cos + cos222--------------------------------Hết------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:.................................................Giám thị 1: (Họ tên và ký).........................................................................................................Giám thị 2: (Họ tên và ký).........................................................................................................SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOBẮC GIANGHƯỚNG DẪN CHẤMBÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNHNGÀY THI 31 /3/2013MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊNBản hướng dẫn chấm có 03 .trangĐỀ CHÍNH THỨCCâuCâu IPhương pháp – Kết quả1) Phương trình đã cho tương đương vớisin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0⇔ 2cos2x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0⇔ (sin 2x - 1)(cos2 x + cos x - 2) = 0sin 2 x = 1πcos x = 1 ⇔  x = + kπ⇔ 4cos x = −2 x = k 2π) (x −1 −1 +110,52) Điều kiên x ≥ 1Phương trình tương đương với(Điểm)x + 7 − 3 + x2 − 3x + 2 = 0x−2x−2++ ( x − 1)( x − 2) = 0x −1 + 1x+7 +311⇔ ( x − 2) ++ x − 1 = 0x+7 +3 x −1 + 111Vì x ≥ 1 nên++ x −1 > 0x −1 + 1x+7 +3Do đó (*) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.⇔Câu II(*)1) Điều kiện y ≠ 0.Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với0,50,50,50,5x + y ( x 2 + 1 − x) + y 2 = 0x+ y + x2 + 1 − x = 0yx⇔ x2 + 1 = x − ( + y)y⇔0,5Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được xx2+ 2  x −  + y  + y 2 = 32y y2xx⇔  + y  − 2 + y  = 3yyx y + y = −1⇔xy + y=30,5( 3)thay vàogiải ra ta có nghiệm (x, y) = (0, -1).1232) Chứng minh được 1Cn + 2Cn + 3Cn + ... + nCnn = n.2n −1Từ đó suy ra 2n – 1 = 128 ⇔ n = 8.8i =0Vậy f ( x) = 2(1 + x)8 + x(2 + x)9 = ∑ 2C8k x k + ∑ C9i 29 −i xi +1CâuIII0,50,59k =00,5Từ đó tìm được hệ số cần tìm là 2C86 + C95 .2 4 = 2072.1) Dễ thấy xn > 0 với mọi n12013  12013Ta có xn +1 =  xn += 2013 ≥ .2 xn .xn  2xn22013 với mọi n ≥ 1.nên (xn) là dãy bị chăn dưới22013 − xn1 2013− xn ) =≤ 0 vì xn ≥ 2013 , ∀n ≥ 2Mặt khác xn +1 − xn = (2 xn2 xnDo đó dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ 3.Từ đó suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn.12013 2013Đặt a = lim xn suy ra a =  a +⇔ a = ± 2013⇔a=n →+∞2a a0,50,50,5Do đó xn ≥Suy ra lim xn =n →+∞2) Ta có limx →02013 vì xn > 0 với mọi n.4 + x.3 1 + 2x − 24 + x .( 3 1 + 2 x − 1) + 4 + x − 2= limx →0xx 4 + x .( 3 1 + 2 x − 1)4+ x −2= lim +x →0 xx2 4+ x1= lim +x →0  34+ x +2(1 + 2 x) 2 + 3 1 + 2 x + 14 1 19= + = .3 4 12CâuIV10,50,50,50,50,51) Gọi n(a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.Vì góc giữa AB và BD bằng 450 nên ta có2| 2a + b |=⇔ 3a 2 + 8ab − 3b 2 = 02225(a + b ) a = −3b⇔ a = b30,50,5TH1: a = - 3b, chọn b = -1, a = 3Lập được phương trình (AB): 3x – y – 19 = 0(AD): x + 3y – 5 = 0.Từ đó tìm được A(TH2: a =31 213 242 9; − ), B (4; −7), C (− ; − ), D(− ; )5 5555 50,5b, chọn b = 3, a = 13Lập được phương trình (AB): x + 3y – 3 = 0Tìm được B(0; 1) (loại)0,52) Góc giữa SB và (ABCD) là SBA = 600Từ đó tính được SA = a 3Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA ⇒ KL//SD và CK // ANDo đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CKa 5a 11, KL = a, LC =Tính được CK =222225CK + KL − LCDo đó cos CKL ==−2CK .KL105.Suy ra cos α =102) Dễ chứng minh được DN // (SBK)Do đó d(SB; DN) = d(D; (SBK))Mà AD cắt (SBK) tại K là trung điểm ADnên d(D; (SBK)) = d(A; (SBK)) := h.Tứ diện ABSK là tứ diện vuông nên1111=++222hASABAK 2a 3.Từ đó tìm được d(SB; DN) = h =4Câu VChứng minh đượcsin A + sin B ≤ 2 cosTừ đó chứng minh được0,50,50,50,50,50,50,5C2sin A + sin B + sin C ≤ cos0,51ABC+ cos + cos222Suy ra điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.Lưu ý khi chấm bài:Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ.Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương ...