Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2016 môn Đại số

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi môn Đại số, mời các bạn cùng tham khảo Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2016 môn Đại số dưới đây. Nội dung đề thi gồm 5 câu trong thời gian làm bài 120 phút. Hy vọng đề thi sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2016 môn Đại số HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2016 ĐỀ THI MÔN : ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 120 phút 1 3 1  1 0 0   0 2 1  2 2 1  ; B  0 2 0  ; C   1 1 1 Bài 1. Cho các ma trận : A        3 4 2 0 0 1   2 5 4        1) Tính A.C và A.B.C .  4 3 3 2) Tính  2 3 2     4 4 3   2016 .  1 1 2 1   m 2 1 1 . Bài 2. Tìm tất các giá trị của m để hạng của ma trận sau nhỏ nhất: A    2 1 3 0    2 4  1 1 m a a a a a b b b Bài 3. Chứng minh rằng:  a  b  a  c  b  d  c  . a b c c a b c d Bài 4. Giải và biện luận theo tham số thực m hệ phương trình sau:  x1  mx2  1   x2  mx3  1 m   1  x3  mx4  2  m  m  0 .  ...   1  x10  mx11  9 m   1  x11  mx1  m10  Bài 5. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n  n  2  thỏa mãn AB  A  B và A2016  0 . Gọi  là ma trận không cấp n1 . Chứng minh rằng có vô số ma trận X sao cho A. X   . ------------------------------------------- Hết ------------------------------------------Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… SBD: …………………… KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2016 HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM ĐÁP ÁN MÔN : ĐẠI SỐ Bài 1.  4 3 3 1) A.C  I 3 và A.B.C   2 3 2  .    4 4 3   2) Ta có A.C  I 3 , suy ra C  A1  4 3 3  4 3 3  2 3 2   A.B.C   2 3 2  Ta có      4 4 3  4 4 3     Vậy  4 3 3  2 3 2    4 4 3   2016 0  1 3 1  1  2 2 1  0 22016    3 4 2  0 0   2016   A.B.C  2016   A.B. A1  2016  AB 2016 A1 . 0   0 2 1 3.22016  2 2.32016  3 3  3.2 2016    0   1 1 1   22017  2 2 2017  1 2  2 2017 4    1   2 5 4   22018  4 22018  5  2 2018      Bài 2. 1  1 1 2 1  1 1 2 1   1 1 2  1 2 1 m  0 1  0 1 3 1  m  3 1  m     Ta có: A   0 1 3 2  0 1 3 2  0 0 0 m  1       2 2 6  0 0 m2  17 0   4 1 m 10  0 3 m  8  m2  17  0  m  1;  17 Hạng của ma trận A nhỏ nhất khi và chỉ khi  m  1  0  Bài 3. Ta có: a a a b a b a b a a b b c c c d a  a a a 0 ba ba ba 0 ba ca ca 0 ba ca d a  a  b  a  c  b  d  c  a  a a a 0 ba ba ba 0 0 c b c b 0 0 c b d b a   a a a 0 ba ba ba 0 0 c b c b 0 0 0 d c Bài 4.  1 m 0 ... 0 0   0 1 m ... 0 0     0 0 1 ... 0 0  Ma trận hệ số của hệ là: A    ... ... ... ... ... ...   0 0 0 ... 1 m     m 0 0 ... 0 1 1111 Khai triển định thức của ma trân A theo cột 1 ta được A  1  m11 Trường hợp 1: A  0  m  1 . Cộng tất cả các phương trình của hệ ta được 0 = 1, suy ra hệ vô nghiệm. Trường hợp 2 : A  0  m  1. Hệ có nghiệm duy nhất. 1 1 m 1 2 Ta có: 1  m ... m 0 ... 0 0 1 m ... 0 0 0 1 0 ... 0 ... ... ... ... ...  1 1 1 1  m  2  m 2    10  m10  1 m m m 1 0 0 ... 1 m m9 1 0 0 ... 0 1 m10 (khai triển theo cột 1)  1 Khi đó x1  1   Thay x1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta tìm được : A 1  m11 1 1  m10 . x2  1   m  1  m11  1  m11 Thay x2 vào phương trình thứ hai của hệ ta tìm được : 1 1 .  2 m 1  m11 Thay x3 vào phương trình thứ ba của hệ ta tìm được : x3  x4  1  1  m8 . 1    m3  1  m11  1  m11 Tiếp tục như vậy cuối cùng ta tìm được nghiệm duy nhất của phương tình là  x1; x2 ;...; x10 ; x11  , m12 2 k 1 , k  1;5. trong đó : x2 k 1  2 k , k  0;5; x2 k  1  m11 m 1  m11  Bài 5. Ta có A2016   nên A2016  0 . Suy ra A 2016  0  A  0 (1) Ta có AB  A  B  B  A  B  I  Suy ra B  A B  I (2) . Từ (1) và (2) suy ra B  0 . Vậy hệ phương trình thuần nhất B. X   có vô số nghiệm, tức là có vô số ma trận X sao cho B. X   .  ...