Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Long An

Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Long An nhằm giúp cho học sinh ôn tập, luyện tập và vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài tập và đặc biệt khi giải những bài tập cần phải tính toán một cách nhanh nhất, thuận lợi nhất đồng thời đáp ứng cho kỳ thi tuyển vào lớp 10.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Long AnChương trình luyện thi lớp 10 chuyênnăm 2017Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương laiSỞ GD&ĐT LONG AN---------------ĐỀ CHÍNH THỨC(Đề thi có 01trang)Môn: Toán họcKỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG ANNĂM HỌC 2014-2015Môn thi: TOÁN CHUYÊNThời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)Câu 1 (1,5 điểm)x xy y  x y Cho biểu thức P  với điều kiện x, y  0, x  y . xy  :   x yx y a) Rút gọn biểu thức P .b) Tìm tất cả các số tự nhiên x, y để P  3 .Câu 2 (2,0 điểm)Cho phương trình x 2  x  m  0 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có hainghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  2 .Câu 3 (1,0 điểm)Giải phương trình x 2  4 x  7  ( x  4) x 2  7 .Câu 4 (2,5 điểm)Gọi O  là đường tròn tâm O , đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa A và O , từ H vẽdây CD vuông góc với AB . Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M . Gọi N là hìnhchiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB .a) Chứng minh: tứ giác MNAC nội tiếp.b) Chứng minh: NC là tiếp tuyến của đường tròn O  .c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn O  cắt đường thẳng NC tại E . Chứng minh đườngthẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH .Câu 5 (1,0 điểm)Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địaphương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là sốnguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh cóđiểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương.Câu 6 (1,0 điểm)Cho các số thực a , b, c, d sao cho 1  a , b, c, d  2 và a  b  c  d  6 .Tìm giá trị lớn nhất của P  a 2  b 2  c 2  d 2 .Câu 7 (1,0 điểm)Cho hình chữ nhật ABCD với AB  a , AD  b . Trên các cạnh AD, AB, BC, CD lần lượtlấy các điểm E , F , G, H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH . Gọi P là chu vi của tứgiác EFGH . Chứng minh: P  2 a 2  b2 .--------HẾT--------Giám thị coi thi không giải thích gì thêmWebsite: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807Trang | 1Chương trình luyện thi lớp 10 chuyênnăm 2017Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương laiMôn: Toán họcHƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN CHUYÊNCÂUCâu 1a(0,75điểm)NỘI DUNGx xy y xy x yxyĐIỂM20,250,25x y x yx yPCâu 1b(0,75điểm)x0,25y0,25Suy ra 0  x  9;0  y  90,25x  0 x  9 x  1 x  4x, y cần tìm là : ,,,y  9 y  0 y  4 y 1Câu 2(2,0 điểm)Vì P  x  y và P  3 nên 0  x  3;0  y  30,25  1  4m0,25Phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m 140,25x1 1  1  4m20,25x2 1  1  4m20,250,251  1  4m22Vì x 1  x2  2 nênSuy ra 1  4m  30,25Suy ra m  20,25Giá trị của m cần tìm là 2  m Câu 3(1,0 điểm)14x 2  4 x  7  ( x  4) x 2  7  x 2  7  x x 2  7  4 x  4 x 2  7  0x2  7  4x2  7  x  0 x2  7  4  0 x2  7  x  0Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 8070,250,250,250,25Trang | 2Chương trình luyện thi lớp 10 chuyênnăm 2017Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương laiMôn: Toán học0,25x  3 x  3Câu 4a(0,75điểm)MCEINAHOBDTa có : MNA  900 (giả thiết)0,250,25Ta có   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))ACBSuy ra ACM  9000Vì tứ giác MNAC có   MNA  1800 nên nội tiếpACM  ADCVì MNAC nội tiếp và MN song song CD nên ACN   (*)0,25Vì ADBC nội tiếp nên    (**)ADC ABC0,25Từ (*) và (**) suy ra    .Vậy NC là tiếp tuyến của  O ACN ABCCâu 4b(0,75điểm)0,250,25Gọi I là giao điểm cùa BE và CHCâu 4c ACD(1,0 điểm) Ta có AB  CD      ECA  AC ADSuy ra CA là phân giác trong của tam giác ECITa có CB  CA  CB là phân giác ngoài của tam giác ECI0,250,25BI CI(1)BE CETa có IH song song EA (cùng  AB ) Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807IHBI(2)AE BE0,25Trang | 3Chương trình luyện thi lớp 10 chuyênnăm 2017Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương laiMôn: Toán học0,25Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm bài thi nhưnhau (từ 5 điểm đến 10 điểm)0,25Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địaphươngTheo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toánvà đến từ cùng một địa phươngCâu 5(1,0 điểm)Mặt khác: AE  CE (3) ( AE , CE là tiếp tuyến )Từ (1), (2) và (3) suy ra CI  IHVậy BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH .Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm0,250,250,250,25Câu 6Ta có 1  a  2 suy ra  a  1 a  2   0(1,0 điểm)Suy ra a 2  3a  20,25Suy ra a 2  b 2  c 2  d 2  3  a  b  c  d   8  10Giá trị lớn nhất của P là 10 ( P  10 với a  2, b  2, c  1, d  1 hoặccác hoán vị )Câu 7( 1,0điểm)0,250,25FA0,25BIEGKMDHCGọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH ...