Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán năm học 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Nghệ An

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học kỳ sắp tới cùng củng cố và ôn luyện kiến thức, rèn kỹ năng làm bài thông qua việc giải Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán năm học 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Nghệ An. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn trong việc ôn tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán năm học 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Nghệ AnSỞ GD&ĐT NGHỆ ANĐề thi chính thứcKỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂUNĂM HỌC 2012- 2013Môn thi: TOÁNThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 (7,0 điểm).a) Giải phương trình: ( x  1  1)(5  x )  2x. x 2  2 xy  x  2 y  3  0b) Giải hệ phương trình:  22 y  x  2 xy  2 x  2  0.Câu 2 (3,0 điểm).Tìm các số tự nhiên x và y thoả mãn 2 x  1  y 2 .Câu 3 (2,0 điểm).Cho ba số dương x, y, z thoả mãn1 1 1   1. Chứng minh rằng:x y zx  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z .Câu 4 (6,0 điểm).Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A vàDAB  600. Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc vớiAD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đườngthẳng DF cắt đường tròn tại điểm thứ hai N.a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng.b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC.Câu 5 (2,0 điểm).Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kìtrong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnhbằng nhau.--------- Hết -------Họ và tên thí sinh:.............................................. Số báo danh:.....................................Chữ ký của Giám thị 1:................................. Chữ ký của Giám thị 2:.........................SỞ GD&ĐT NGHỆ ANKỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂUNĂM HỌC 2012- 2013HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁNĐỀ CHÍNH THỨC(Hướng dẫn và biểu điểm này gồm có 3 trang)7,0 điểmCâu 1ĐK : x  1  0  x  1.0,25Với x  0 không là nghiệm của phương trình0,5Với x  0 , nhân 2 vế vớix 5  x   2xa)4,0 điểmb)x  1  1  0 ta đượcx 1 1 2 x 1  7  x7  x  024  x  1   7  x x  7 2 x  18 x  45  0x  7  x  3  x  150,5 x  3 (thoả mãn các điều kiện).0,5Vậy phương trình có nghiệm x  3.0,250,50,50,522 x  2 xy  x  2 y  3  0 (1)2 x  4 xy  2 x  4 y  6  0 2 222 y  x  2 xy  2 x  2  0 (2)  y  x  2 xy  2 x  2  00,5 x 2  y 2  2 xy  4 x  4 y  4  00,5  x  y  2  00,5 y  x  2 . Thay vào pt (1) ta được0,52x2  5x  1  0  x 3,0 điểm0,55  2120,5Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y) là 5  21 1  21   5  21 1  21 ;;, .2222 0,53,0 điểmCâu 22 x  1  y 2  2 x  y 2  1  2 x   y  1 y  1.0,5Đặt y  1  2m , y  1  2n ( m, n  ; m  n ).0,5Khi đó 2m  2n  y  1   y  1  20,5 2n 2mn  1  20,5n2  2  mn n  1; m  2 ; thoả mãn đk m, n  ; m  n211Vậy x  3; y  3.0,50,52,0 điểmCâu 3Bất đẳng thức đã cho tương đương vớia  bc  b  ca  c  ab  1  ab  bc  ca ,111với a  , b  , c  , a  b  c  1.xyzTa có:0,5a  bc  a(a  b  c)  bc0,75 a  a(b  c)  bc  a  2a bc  bc  a  bc .2Tương tự:2b  ca  b  ca ; c  ab  c  ab.0,25Từ đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  3.0,56,0 điểmCâu 4EDHFAOCBMa)N4,0 điểmTa có : ACH  ABD (so le trong)(1)0,5mà AND  ABD (góc nội tiếp cùng chắn một cung)(2)0,5từ (1) và (2) suy ra AND  ACH hay ANF  ACF0,5suy ra tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn0,5AFCN nội tiếp đường tròn  CNF  CAF hay CND  BAE (3)0,5Mặt khác BAE  DAE  DNE0,5(4)b)2,0 điểmtừ (3) và (4) suy ra CND  END0,5 N, C, E thẳng hàng0,5Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia DN tại M0,25Ta có DAB  ACM (so le trong)0,25Mà DAB  DNB (góc nội tiếp cùng chắn một cung)0,25 ACM  DNB  tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn CBM  END; CMB  ENB (vì N, C, E thẳng hàng)0,25mặt khác END  ENB  CBM  CMB CB = CM . lại có CB = AD (gt)  AD = CM0,25AD = CM, AD//CM suy ra ADCM là hình bình hành  đpcm0,250,250,252,0 điểmCâu 5Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là a, b, c, d (a, b, c, d*). Giảsử không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Không mất tính0,5tổng quát, giả sử a > b > c > d. (*)Do tứ giác lồi nên a < b + c +d a < b + c + d < 3a0,5 2a < a + b + c + d < 4aTừ giả thiết của bài toán suy ra a + b + c + d chia hết cho các số0.25a, b, c, d nên ta có : a + b + c + d = 3aĐặta + b + c + d = mb với ma + b + c + d = nc với nDo a > b > c  n > m > 3(1)*(2)0,25*(3) n  5, m  40,25Cộng (1), (2), (3) được3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc  3a +4b + 5c (b – d) + 2(c – d)  0 , mâu thuẫn (*) Tứ giác có ít nhất 2 cạnh bằng nhau.(Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)0,25 ...