Đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên 2016 môn Toán - Sở GD&ĐT Hà Nội

Đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên 2016 môn Toán - Sở GD&ĐT Hà Nội giúp các em học sinh tự kiểm tra lại kiến thức môn Toán lớp 10 của mình, luyện đề chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển tuyển sinh môn Toán sắp tới. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên 2016 môn Toán - Sở GD&ĐT Hà NộiBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘICỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập – Tự do – Hạnh phúcĐỀ THI TUYỂN SINHVÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 2016Môn thi: TOÁN(Dùng cho mọi thí sinh thi vào Trường Chuyên)Thời gian làm bài: 120 phút 11 a1 a1Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức P  1 với 0 < a < 1. Chứng minh2a 1  a 2  1  a  1 a  1 a arằng P = –1Câu 2 (2,5 điểm). Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1, y2 là tung độ củaA, B. Tìm m sao cho | y12  y22 | 3 53Câu 3 (1,5 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên4113quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên quãng đường AB sau bằng vận tốc trên quãng đường AB4243đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên quãng đường AB đầu tiên4lúc đi là 10 km/h . Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máytrên quãng đường người đó đi từ B về A?Câu 4 (3,0 điểm). Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặtphẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếpb) Chứng minh CP.CB  DP.DA  ABc) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E,F. Chứng minh CDFE là hình thang.Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng5a  4  5b  4  5c  4  7––––––––Hết–––––––ĐÁP ÁNCâu 1Với 0 < a < 1 ta có:1 aP 1 a  1 a1 a21  a 1  a   1 a 1 a  1 a1 a 1 a  1 a 2  1  a  1 22a 1 a   a  (1  a)(1  a)  1 a2a1 a  2  1 a. 1  a 1 1 a1 a a2a1  a  1  a   1 a  1 a1  a  1  a 2 1  a . 1  a  (1  a)  (1  a).2a1 a  1 a1 a  1 a .1 a  1 a1 a  1 a1 a  1 a2a1 a  1 a22a1  a 1  a2a 12a2aCâu 2a) Khi m = 1 ta có d : y = 2x – 1 và (P): y = –x2Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:Với x  1  2  y  3  2 2Với x  1  2  y  3  2 2Vậy các giao điểm là 1  2; 3  2 2 ; 1  2; 3  2 2b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):  x2  2mx  1  x2  2mx  1  0 (*)Phương trình (*) có ∆’ = m2 + 1 > 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d luôn cắt (P) tại haiđiểm phân biệt. x1  x2  2m| x1  x2 | ( x1  x2 )2  ( x1  x2 )2  4 x1 x2  4m2  4  2 m2  1Áp dụng Viét ta có:  x1 x2  1 y1  2mx1  1| y12  y22 || (2mx1  1) 2  (2mx2  1) 2 |Khi đó ta có  y2  2mx2  1| y12  y22 || (2mx1  1  2mx2  1)(2mx1  1  2mx2  1) || 4m( x1  x2 )[m( x1  x2 )  1] || 4m(2m2  1)( x1  x2 ) | 4 m(2m2  1) | x1  x2 | 4 | m | (2m2  1)2 m2  1Ta có | y12  y22 | 3 5  64m2 (2m2  1)2 (m2  1)  45  64(4m4  4m2  1)(m4  m2 )  455Đặt m4  m2  t  0 có phương trình 64t (4t  1)  45  256t 2  64t  45  0  t (vì t ≥ 0)16Suy ra m4  m2 Vậy m  51 16m4  16m2  5  0  m  16212Câu 3Gọi vận tốc của người đi xe máy trên3quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0)41quãng đường AB sau là 0,5x (km/h)4Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h)90 30120 1Tổng thời gian của chuyến đi là   8,5x 0,5 x x  10 290 60 120150 120 8 8  75( x  10)  60 x  4 x( x  10)xx x  10xx  10 4 x2  95x  750  0  x  30 (do x > 0)Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h)Vận tốc của người đi xe máy trênCâu 4a) Vì CMA  DMB  60o  CMB  DMA  120o. Xét ∆ CMB và ∆ AMD cóCM  AM MCB  MADCMB  DMA  CMB  AMD(c.g.c)   MBC  MDA MB  MDSuy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếpb) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nênCP CMCPM  180o  CAM  120o  CMB  CPM CMB( g.g ) CM CB CP.CB  CM 2  CP.CB  CM . Tương tự DP.DA  DMVậy CP.CB  DP.DA  CM  DM  AM  BM  ABc) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại EMặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều⇒ PE = PM . Tương tự PF = PMTa có CM // DB nên PCM = PBDMà BMPD là tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD. Suy ra PCM = PMDCP PMCP PETa lại có CPM = DPM = 120o  CPM MPD( g.g ) MP PDPF PDTheo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang.Câu 52a(1  a)  0 a  aVì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên 0  a, b, c  1  b(1  b)  0  b  b 2c(1  c)  02c  cSuy ra5a  4  a 2  4a  4  (a  2)2  a  2Tương tự 5b  4  b  2; 5c  4  c  2Do đó5a  4  5b  4  5c  4  (a  b  c)  6  7 (đpcm) ...