Đề toán học lớp 12 - đề 1

Tài liệu tham khảo về Đề toán học lớp 12 dành cho các bạn học sinh lớp 12 các bạn yêu toán tham khảo...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề toán học lớp 12 - đề 1 Đ ra kì này - T p chí Kvant 01-2001 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M1756. Cho các s t nhiên khác nhau sao cho v i 3 s b t kì thì có 2 s mà s nàychia h t cho s kia. Ch ng t r ng, t t c các s đó có th tô b ng 2 màu sao cho n u hais cùng màu thì m t s này chia h t cho m t s kia.E. Cherepanov M1757*. M t đa giác l i có th b c t ra thành 22 hình bình hành. Ch ng t r ng đagiác này cũng có th b c t ra thành 15 hình bình hành.V. Proizvolov M1758. M i ngh sĩ đ u có t l ng h c a mình. Giai đo n đ u sau khi b u ch n, m ingh sĩ n m trong m t đ ng, mà trong đó ông ta có th ki m kê đư c t l ng h c amình. Ngh sĩ có th chuy n t m t đ ng sang m t đ ng khác mà đó t l ng h tương ng c a anh ta tăng lên. Gi s trong m i giai đo n ch có th x y ra m t l n chuy n nhưv y. Ch ng t r ng sau giai đo n cu i cùng thì các s chuy n đ i t l ng h như v y cũngk t thúc.V. Ilichev M1759. Có m t tam giác nh n v i c nh bé nh t là c đ i di n v i góc tương ng là γ .Bi t r ng tam giác có th tô b ng 2 màu sao cho kho ng các gi a hai đi m cùng màu khôngl n hơn c. Ch ng t r ng γ ≥ 36.A. Evnin M1760. B ng vuông n × n ô g i là kỳ l n u th a mãn tính ch t: b t kì n s nào c ab ng sao cho b t kì hàng và c t nào c a b ng đ u có ch a m t m t s trong chúng thì cács này cho m t t ng c đ nh. Ch ng t r ng m i b ng vuông kỳ l có th bi u di n thànht ng hai b ng vuông khác sao cho m t trong chúng thì trong m i c t các s đ u b ng nhau,cái còn l i thì trong m i hàng các s đ u b ng nhau. Thí d :     341 230 111  6 7 4 = 2 3 0 + 4 4 4  563 230 333V. Proizvolov M1761. M t o thu t gia có 100 t m phi u, đư c đánh s t 1 đ n 100. Ông ta s p x pcác t m phi u này vào ba chi c h p màu đ , tr ng và xanh sao cho trong m i h p có ítnh t m t quân bài. M t khán gi ch n ra hai chi c h p và rút l n lư t t m i chi c h pm t t m phi u và đ c cho m i ngư i bi t t ng các s ghi trên chúng. Khi bi t t ng này, oTypeset by TEX 1thu t gia ngay l p t c xác đ nh đư c chi c h p nào không có t m nào b rút ra. H i có baonhiêu cách s p x p các t m phi u vào các h p đ cho trò o thu t này luôn thành công?Hungaria M1762. T n t i hay không s t nhiên n sao cho n có đúng 2000 ư c s nguyên t khácnhau và 2n + 1 chia h t cho n?V. Senderov M1763*. Gi s CH1 , CH2 , CH3 là các đư ng cao c a tam giác nh n ABC . Đư ng trònn i ti p trong tam giác ABC ti p xúc v i các c nh c a nó t i các đi m T1 , T2 , T3 tương ng.Các đư ng th ng l1 , l2 , l3 là nh c a các đư ng th ng H2 H3 , H3 H1 , H1 H2 qua các phép đ ix ng v i các tr c tương ng T2 T3 , T3 T1 , T1 T2 . Ch ng t r ng các đư ng th ng l1 , l2 , l3 t othành m t tam giác v i các đ nh n m trên đư ng tròn n i ti p tam giác ABC .T. Emelianova M1764. Gi s hàm s f : [0, 1] → R th a mãn đi u ki n: f (0) = 0, f (1) > 0, f đơn đi utăng trên [0, 1] và v i b t kì x1 , x2 ∈ [0.1] sao cho x1 + x2 ∈ [0, 1] thì có b t đ ng th c sau f (x1 ) + f (x2 ) ≥ f (x1 + x2 )Ch ng t r ng, khi đó dãy s 1 1 1 sn = f (1) + f ( ) + f ( ) + ... + f ( ), n = 1, 2, 3... 2 3 nkhông b ch n.V. Popov M1765. Các c nh c a m t t di n đ u b ng 1. Cho các trư ng h pa. Trên các c nh có 5 đi m đư c đánh d u.b. Trên các m t có 9 đi m đư c đánh d u.c. Trong t di n có 9 đi m đư c đánh d u.Ch ng t r ng trong m i trư ng h p luôn tìm đư c hai đi m đư c đánh d u sao cho kho ngcách gi a chúng không vư t quá 0,5.V. Proizvolov 2 Đ ra kì này - T p chí Kvant 02-2001 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M1766. Trên m t bàn c vua vô h n có m t quân h u và m t quân vua khác màu, saocho quân vua không đư c đi theo đư ng chéo. Chúng đư c đi l n lư t. Có th hay khôngtrư ng h p quân vua không s m thì mu n cũng b chi u tư ng.A. Shapovalov. M1767. Trong hình vuông ABCD l y hai đi m P, Q sao cho ∠P AQ = ∠P CQ = 45◦(Xem hình). Ch ng minh r ng P Q2 = BP 2 + QD2V. Proizvolov. M1768. a. Phân b các s 1,2,3,...,100 trên m t hàng theo m t th t sao cho m t vàib t kì (không ph i t t c ) t nh ng s này có t ng các ch s th t không trùng v i t ngcác giá tr c a chúng.b. Trên các gh trong m t chi c xe đi n g m, các hành khác có th ng i b t c v trí nàomà h mu n. T ng k t l i t t c các gh có ngư i ng i thì v i m t nhóm không nhi u hơn100 hành khách b t kì thì trung bình c ng các ch s ghi trên các ...