Đề toán học lớp 12 - đề 2

Tham khảo tài liệu đề toán học lớp 12 - đề 2, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề toán học lớp 12 - đề 2 Đ ra kì này - T p chí Kvant 01-2007 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng Đ ng MathVn http://mathvn.org M2026. Trên các c nh AB, AC, CD và DA c a hình vuông ABCD l y tương ng cácđi m P, M, N, Q sao cho ∠M N A = 45◦ , P M ||AN , AM ||N Q. Đo n P Q c t AM, AN tương ng t i các đi m F và G. Ch ng minh r ng, di n tích c a tam giác AF G b ng t ng di ntích c a các tam giác F M P và GN Q.(V. Proizvolov) M2027. Trên b ng có vi t ba ch s t nhiên x, y, z . Petia vi t vào t gi y c a mìnhtích hay s b t kì t ba s đó, và gi m s th ba trên b ng đi 1. V i 3 s m i trên b ng,m t l n n a c u ta l i ti n hành các phép toán trên, và c ti p t c v y cho t i khi m ttrong các s đó b ng 0. H i t ng c a các s trên t gi y c a c u lúc đó s b ng bao nhiêu?E. Gorskij, S. Dorichenko M2028. Bi t r ng nh ng k nói th t luôn nói s th t, nh ng k nói d i luôn nóinh ng đi u d i trá còn nh ng k láu cá có th nói th t ho c nói d i. B n ch có th đưara nh ng câu h i v i nh ng k này đ nh n đư c câu h i có ho c không.a. N u có m t k nói th t, m t k nói d i, m t k láu l nh và h đ u bi t nhau thì b n làmcách nào đ phân bi t h .b. N u có m t k nói th t, m t k nói d i, hai k láu cá và t t c h đ u bi t nhau. Ch ngt r ng hai k láu cá này có th tr l i sao cho b n không th bi t đư c ch c ch n m t aitrong 4 ngư i trên khi mà b n đã đ t ra nh ng câu h i v i t t c h .B. Ginzburg, M. Gerver M2029. Cho hai c p s nhân và c p s c ng vô h n đư c t o ra t các s nguyên dương,sao cho chúng có chung t t c các s h ng. Ch ng minh r ng giá tr c a c p s nhân ph ilà m t s nguyên.(B. Frenkin) M2030. Có th n i ti p m t hình bát di n đ u vào m t hình l p phương sao cho cácđ nh c a hình bát di n n m các c nh c a hình l p phương đư c hay không?(L. Radzivilovskij) M2031. Các đư ng th ng đi qua các trung tuy n c a tam giác ABC c t đư ng trònngo i ti p ω c a tam giác này t i các đi m A1 , B1 , C1 . Các đư ng th ng đi qua các đ nhA, B, C và song song v i các c nh đ i di n c t ω l n th hai t i A2 , B2 , C2 . Ch ng minhr ng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đ ng quy t i m t đi m.(A. Zaslavskij)Typeset by L TEX 2ε 1 A M2032. a. T n t i hay không m t s t nhiên n đ v i b t kì s t nhiên k nào thì ítra m t trong hai s nk − 1, nk + 1 có d ng ab v i các s t nhiên a và b> 1?b. M t s t nhiên đư c g i là ph n nguyên t n u nó chia h t cho bình phương ư c snguyên t b t kì c a nó. Hai s t nhiên đư c g i là giá tr g n nhau n u chúng sai khácnhau 2 đơn v . H i có vô h n hay h u h n các c p s ph n nguyên t giá tr g n nhau.V. Senderov M2033. M t ngư i có m t b bài g m 52 con. Anh ta công b cho m i ngư i đ u bi tcon n m trên cùng và dư i cùng c a b bài đó. M i ngư i có th đ t câu h i d ng có baonhiêu quân bài gi a quân... và quân.... H i c n ph i đ t ra ít nh t là bao nhiêu câu h iđ i v i ngư i này đ bi t đư c th t c a toàn b các quân bài trong c b bài.A. Shanovalov M2034. Trên các c nh AB, BC, CA c a tam giác ABC l y tương ng các đi m X, Y, Zsao cho tam giác XY Z đ ng d ng v i tam giác ABC (∠X = ∠A, ∠Y = ∠B ). Ch ng minhr ng tâm đư ng tròn ngo i ti p c a tam giác XY Z cách đ u các giao đi m c a các đư ngcao.N. Nikolov (Bulgaria) M2035. a. Trên đư ng tròn đ t m t vài các s nguyên dương sao cho chúng đ u khôngl n hơn 1. Ch ng t r ng, các s này có th phân ho ch thành 3 nhóm sao cho t ng các s hai nhóm b t kì sai khác nhau không quá 1 (N u m t nhóm không có s nào, xem nhưt ng này xem như b ng 0).b*. Đ t m t vài các s dương không l n hơn 1 lên m t đo n th ng. Ch ng minh r ng cóth phân ho ch các s này ra thành n nhóm sao cho t ng c a các s hai nhóm b t kì saikhác nhau không quá 1. (N u nhóm đó không có s nào thì t ng này xem như b ng 0.)M. Malkin, Y. Bogdanov, G. Chelnokov 2 Đ ra kì này - T p chí Kvant 02-2007 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M2036. Andrey, Boria và Casha chia nhau 20 đ ng xu sao cho không m t ngư i trongh đư c nh n t t c các đ ng xu. Sau đó, trong m i phút thì m i ngư i trong h đưa chongư i b n còn l i m i ngư i m t đ ng xu. Sau m t kho ng th i gian thì Andey, Boria,Casha có tương ng a, b, c đ ng xu. Tìm s lư ng có th đư c các b ba (a, b, c).K. Kaybkhanov M2037. Các đư ng chéo t giác n i ti p ABCD c t nhau t i đi m E ; đi m K, M làtrung đi m c a c nh AB, CD; đi m L, N là hình chi u c a E xu ng c nh BC, AD. Ch ngt r ng các đư ng th ng KM, LN vuông góc nhau.Folklor M2038. Foma và Erema chia m t đ ng t nh ng m u pho-mat. Đ u tiên là Foma,n u như có th , l a ra m t mi ng pho-mat và chia nó thành 2. Sau đó c u s p các mi ngpho-mat thành 2 mâm. Ti p theo Erema l a ra m t mâm và h b t đ u l y theo l n lư tt ng mi ng pho-mat cho mình, đ u tiên là Erema. H cũng ...