Định lí điểm bất động cho dạng phi φ- co yếu suy rộng trong không gian kiểu mêtric

Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian kiểu-mêtric. Kết quả này là mở rộng kết quả chính của (Zhang & Song, 2009) sang không gian kiểu-mêtric.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lí điểm bất động cho dạng phi φ- co yếu suy rộng trong không gian kiểu mêtricJournal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32An Giang UniversityĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG   CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIANKIỂU-MÊTRICNguyễn Văn Dũng1, Nguyễn Chí Tâm 21TS. Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng ThápThS. Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp2Thông tin chung:Ngày nhận bài: 25/02/14Ngày nhận kết quả bình duyệt:29/04/14Ngày chấp nhận đăng:22/10/14ABSTRACTTitle:Fixed point theorems forgeneralized  - weakcontractions mappings inmetric-type spacesTrong bài báo này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một định lí điểm bất độngcho dạng-co yếu suy rộng trong không gian kiểu-mêtric. Kết quả này là mởrộng kết quả chính của (Zhang & Song, 2009) sang không gian kiểu-mêtric.In this paper, we state and prove a fixed point theorem for generalized - weakcontractions mappings in metric-type spaces. This result generalizes the mainresult of (Zhang & Song, 2009) to the setting of metric-type spaces.TÓM TẮTTừ khóa:Điểm bất động, kiểu-mêtric,ánh xạ -co yếu suy rộngKeywords:Fixed point, metric-type,weak contractions-là một số thực và D : X X[0,hàm thoả mãn các điều kiện sau.1. GIỚI THIỆUĐịnh lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạco trên không gian mêtric đầy đủ là một kết quảnổi bật trong Giải tích, được nhiều tác giả quantâm nghiên cứu và mở rộng cho nhiều ánh xạ trênnhiều không gian khác nhau (Agarwal, Meehan &O’Regan, 2004). Năm 2009, Zhang và Song(2009), các tác giả đã mở rộng ánh xạ co thànhdạng -co yếu suy rộng trong không gian mêtricvà đã chứng minh định lí điểm bất động cho dạng-co yếu này.(1) D(x, y)0 khi và chỉ khi x y .D(y, x ) với mọi x, y X .(2) D(x, y)(3)D(x, z ) K[D(x, y1 )D(y1, y2 )với mọi x, y1, y2,..., yn , z...D(yn , z )]X.Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric trên X và(X, D, K ) được gọi là một không gian kiểu-Gần đây, Khamsi (2010) đã giới thiệu một kháiniệm mêtric suy rộng mới gọi là kiểu-mêtric nhưsau.Định nghĩa 1.1 Cho X là tập khác rỗng, K) là mộtmêtric. Ta có (X , d ) là một không gian mêtrickhi chỉ khi (X , d,1) là một không gian kiểumêtric.1Chú ý 1.2. Nguyễn Trung Hiếu và Võ Thị Lệ27Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32An Giang UniversityHằng (2013) đã chứng tỏ rằng kiểu-mêtric nhưĐịnh nghĩa 1.1 là ánh xạ không liên tục (NguyễnTrung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng, 2013, Example2.1). Bên cạnh đó, Jovanovic, Kadelburgvà Radenovic (2010) đã xét một không gian kiểumêtric khác, trong đó điều kiện (3) của Địnhnghĩa 1.1 được thay bởi điều kiện sau(3’) D(x, z ) K[D(x, y) D(y, z )] với mọiTrong bài báo này, chúng tôi mở rộng định líđiểm bất động cho ánh xạ -co yếu trên khônggian mêtric của Zhang và Song (2009) sang ánhxạ-co yếu suy rộng trong không gian kiểumêtric. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minhhọa cho kết quả thu được.x, y, zBổ đề 2.1. Cho (X, D, K ) là một không gian2. KẾT QUẢ CHÍNHX.kiểu-mêtric. Nếu dãy {x n } hội tụ thì điểm giớiTrong bài báo này, chúng tôi xét không gian kiểumêtric theo Định nghĩa 1.1. Một số khái niệm liênquan đến không gian kiểu-mêtric này được tríchdẫn từ các bài báo của Khamsi (2010), Zhang vàSong (2009).hạn của nó là duy nhất.Chứng minh. Giả sử {x n } hội tụ về x và ytrong X . Khi đó với mọi n ta cóĐịnh nghĩa 1.3 Cho (X, D, K ) là một không giankiểu-mêtric. Khi đóD(x, y)nx , nếu lim D(x n, x )nĐịnh lí 2.2. Choxạ: [0,nếu mỗi dãy Cauchy trong (X, D, K ) là một dãyhội tụ.M (x, y )x, ymọiM (x, y))M (x, y) , ở đây[0,max D(x, y ), D(Tx, x ), D(Sy, y ),1D(y,Tx )2KD(x, Sy ) .(1)0 . Khi đó x  y là điểm bất độngchung của T , S . Thật vậy M (x, y) 0 vàM (x, y)(2) T được gọi là một ánh xạd(x, y)vớiChứng minh. Trường hợp 1: Tồn tại x, y sao chomọi x, y  X .d(Tx,Ty)choX là hai ánhx, y X ta cóKhi đó S và T có duy nhất điểm bất độngchung, nghĩa là, tồn tại duy nhất điểm u X saocho u Tu Su.(1) T được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tạik  (0,1) sao cho d(Tx,Ty)  kd(x, y) với: [0,) [0,(t ) 0 với mọi tlà một không gianlà một không gianX là một ánh xạ.tại X , D, K ) là một hàm số nửaliên tục dưới, không giảm, (t ) 0 với mọit (0,) , (0) 0 và(3) Không gian (X, D, K ) được gọi là đầy đủmêtric và T : XsaoD(Tx, Sy)0.Định nghĩa 1.4 Cho X , dy.kiểu-mêtric đầy đủ và T , S : X(2) Dãy {x n } được gọi là một dãy Cauchy nếulim D(x n , x m )0 hay xVậy điểm giới hạn của {x n } là duy nhất.0 . Khi đóx được gọi là điểm giới hạn của dãy {x n } .n ,mD(x n , y) .Cho n   ta được D(x, y)(1) Dãy {x n } được gọi là hội tụ đến x  X , viếtlà lim x nK D(x, x n )-co yếu nếu tồn) sao cho0,(0)d(x, y)0vớiD(x, y)vàM (x, y),D(Tx, x )M (x, y),nên D(x, y) D(Tx, x )Điều này có nghĩa làmọiX.xĐồng thời, Zhang và Song (2009) đã thiết lậpđịnh lí điểm bất động cho dạng -co ...