Định lí điểm bất động chung cho hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng trong không gian kiểu Mêtric

Trong bài báo này, trên cơ sở định lí điểm bất động chung cho hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng trên không gian mêtric, chúng tôi thiết lập và chứng minh một số định lí điểm bất động chung cho hai ánh xạ thoả mãn điều kiện (B) suy rộng trên không gian kiểu-mêtric.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lí điểm bất động chung cho hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) suy rộng trong không gian kiểu Mêtric1ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO HAI ÁNH XẠ THOẢ MÃNĐIỀU KIỆN (B) SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRICCommon fixed-point theorems for two maps satisfying generalized condition (B) in metric spaceNguyễn Văn Dũng1Nguyễn Thị Ánh Nguyệt2Tóm tắtAbstractKhông gian mêtric là một khái niệm quantrọng trong Giải tích toán học và đã có nhiều sựmở rộng, trong đó không gian kiểu-mêtric là mộtsự mở rộng được nhiều tác giả quan tâm nghiêncứu. Đặc biệt, lí thuyết điểm bất động trên khônggian kiểu-mêtric phát triển rất mạnh trong thờigian gần đây. Trong bài báo này, trên cơ sở định líđiểm bất động chung cho hai ánh xạ thỏa mãn điềukiện (B) suy rộng trên không gian mêtric, chúngtôi thiết lập và chứng minh một số định lí điểm bấtđộng chung cho hai ánh xạ thoả mãn điều kiện (B)suy rộng trên không gian kiểu-mêtric. Đồng thời,chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho những kếtquả đạt được.Metric space is an important concept inmathematical analysis that has been much moreexpanded and researched. Especially, fixedpoint theory in metric space has been stronglydeveloped recently. This paper is to clarify somecommon fixed-point theorems for two mappingssatisfying the generalized condition (B) in metricspace. In addition, it gives examples to illustratethe obtained results.Keywords: common fixed-point theorem, metricspace, generalized condition (B).Từ khóa: điểm bất động chung, kiểu-mêtric,điều kiện (B) suy rộng.1. Mở đầu 12Nguyên lí ánh xạ co Banach trên không gianmêtric đầy đủ là một kết quả nổi bật của Giải tíchtoán học3. Việc mở rộng nguyên lí này là một trongnhững vấn đề thu hút được rất nhiều tác giả quantâm nghiên cứu. Các định lí điểm bất động đối vớiánh xạ co được nghiên cứu cho nhiều kiểu ánh xạ,trên nhiều loại không gian khác nhau.Năm 2010, Khamsi4 đã giới thiệu khái niệmkiểu-mêtric như là một sự mở rộng của khái niệmmêtric. Một hướng nghiên cứu được một số tácgiả trong lĩnh vực Lí thuyết điểm bất động quantâm là thiết lập những định lí điểm bất động trongkhông gian kiểu-mêtric tương tự như những địnhlí điểm bất động đã có trong không gian mêtric vàtìm những áp dụng của nó. Một số tính chất cơ bảncủa một số không gian kiểu-mêtric đã được chứngminh và một số định lí điểm bất động trên những1Tiến sĩ, Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng ThápCử nhân, Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp3Agarwal, R. P., Meehan, M. & O’Regan, D. 2004. Fixed point theoryand applications. Cambridge University Press: Cambridge.4Khamsi, M. A. 2010. “Remarks on cone metric spaces and fixedpoint theorems of contractive mappings”. Fixed Point Theory andApplications, vol. 2010, pp. 1-7.2không gian này đã được thiết lập5 6 7.Năm 2011, Abbas và cộng sự8 đã chứng minhsự tồn tại của điểm bất động chung cho hai ánh xạthỏa mãn điều kiện (B) suy rộng trong không gianmêtric.Bằng cách tương tự, chúng tôi nghiên cứu sựtồn tại của điểm bất động chung cho hai ánh xạthỏa mãn điều kiện (B) suy rộng trong không giankiểu-mêtric; đồng thời, xây dựng ví dụ minh hoạcho những kết quả đạt được.2. Nội dung2.1. Kiến thức chuẩn bịChúng ta cần đến các kiến thức chuẩn bị sau4, 8.2.1.1. Định nghĩaCho K ≥ 1 khác rỗng, K ≥ 1 là một số thực vàD : X × X → [ 0, +∞) là một hàm thoả mãn các5Dung, N. V., Ly, N. T. T., Thinh, V. D. & Hieu, N. T. 2013. “Suzukitype fixed point theorems for two maps in metric-type spaces”. Journalof Nonlinear Analysis and Optimization, vol. 4, no. 2, pp. 17-29.6Hussain, N., Doric, D., Kadelburg, Z. & Radenovic, S. “Suzukitype xed point results in metric type spaces”. Fixed Point Theory andApplications, vol. 2012, no. 126, pp. 1-10.7Jovanovic, M., Kadelburg, Z. & Radenovic, S. 2010. “Commonxed point results in metric-type spaces”. Fixed Point Theory andApplications, vol. 2010, pp. 1-15.8Abbas, M., Babu, G. V. R. & Alemayehu, G. N. 2011. “On commonfixed points of weakly compatible mapping satisfyings generalizedcondition (B)”, Filomat, vol. 25, no. 2, pp. 9-19.Soá 17, thaùng 3/201512điều kiện sau:(1) Với mọi x, y ∈ X , D ( x, y ) = 0 khi và chỉkhi x = y .(2) D ( x, y ) = D ( y, x) với mọi x, y ∈ X .(3) D( x, z ) ≤ K [ D( x, y1 ) + D( y1 , y2 ) + ... + D( yn , z )]với mọi x, y1 , y2 ,..., yn , z ∈ X .Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric (metrictype) trên X và ( X , D, K ) được gọi là một khônggian kiểu-mêtric (metric-type space).2.1.2. Nhận xétBổ đề sau đã được trình bày8 nhưng khôngchứng minh. Chúng tôi trình bày chi tiết chứngminh ở đây.2.2.2 Bổ đềCho X khác rỗng và f , T : X → X có một giátrị trùng duy nhất trên X. Khi đó nếu cặp ( f , T )là tương thích yếu thì f và T có điểm bất độngchung duy nhất.Chứng minh. Vì f , T : X → X có một giá trị( X , d ) là một không gian mêtric khi và chỉ khi trùng duy nhất trên X nên tồn tại duy nhất y ∈ X( X , d ,1) là một không gian kiểu-mê ...